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Wellengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Mo 22.10.2012
Autor: folken

Aufgabe
Wir betrachten die Wellengleichung:
[mm] c^2*u_{xx} [/mm] = [mm] u_{tt} [/mm]
und führen die neuen Variablen
[mm] \xi [/mm] = x-ct , [mm] \eta [/mm] = x+ct
ein.

a) Führen Sie die Variablensubstitution durch, und drücken Sie [mm] u_{xx} [/mm] und [mm] u_{tt} [/mm] in Ableitungen von [mm] \xi [/mm] und  [mm] \eta. [/mm]

Hallo,

ich habe einen Ansatz und weiss nicht, ob mein Vorgehen so richtig ist oder nicht. Falls nicht, wäre es hilfreich zu wissen wie man hier richtig vorgeht. Ich würde u(x,t) = [mm] \xi(x-ct) [/mm] + [mm] \eta(x+ct) [/mm] zweimal ableiten und dann das ganze in
in die Gleichung [mm] c^2*u_{xx}=u_{tt} [/mm] einsetzen. (Bzw. würde ich u(x,t) zweimal nach t ableiten für [mm] u_{tt} [/mm] und zweimal nach x für [mm] u_{xx}) [/mm]

        
Bezug
Wellengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Mo 22.10.2012
Autor: notinX

Hallo,

> Wir betrachten die Wellengleichung:
>  [mm]c^2*u_{xx}[/mm] = [mm]u_{tt}[/mm]
>  und führen die neuen Variablen
> [mm]\xi[/mm] = x-ct , [mm]\eta[/mm] = x+ct
>  ein.
>  
> a) Führen Sie die Variablensubstitution durch, und
> drücken Sie [mm]u_{xx}[/mm] und [mm]u_{tt}[/mm] in Ableitungen von [mm]\xi[/mm] und  
> [mm]\eta.[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe einen Ansatz und weiss nicht, ob mein Vorgehen so
> richtig ist oder nicht. Falls nicht, wäre es hilfreich zu
> wissen wie man hier richtig vorgeht. Ich würde u(x,t) =
> [mm]\xi(x-ct)[/mm] + [mm]\eta(x+ct)[/mm] zweimal ableiten und

wie kommst Du denn darauf? Es soll eine Variablentransformation durchgeführt werden, das heißt der eine Variablensatz (x,t) soll durch einen anderen [mm] ($\xi$,$\eta$) [/mm] ersetzt werden. Bei Dir tauchen nun alle 4 Variablen auf, außerdem ist keinerlei Funktionsvorschrift gegeben.

> dann das ganze
> in
> in die Gleichung [mm]c^2*u_{xx}=u_{tt}[/mm] einsetzen. (Bzw. würde
> ich u(x,t) zweimal nach t ableiten für [mm]u_{tt}[/mm] und zweimal
> nach x für [mm]u_{xx})[/mm]  

Gegeben ist eine Funktion $u=u(x,t)$. Diese sollst Du nun transformieren in eine Funktion [mm] $u=u(\xi,\eta)$ [/mm] D.h. Du musst x und t durch [mm] $\xi$ [/mm] und [mm] $\eta$ [/mm] ausdrücken. Dann kannst Du die Funktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten, es gilt dann: [mm] $u=u(\xi(x,t),\eta(x,t))$ [/mm]

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Wellengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Di 23.10.2012
Autor: folken

Hallo,

danke für deine Antwort. Leider verstehe ich noch nicht alle Zusammenhänge, deswegen meine Frage dazu:

Also u(x,t) wurde bei uns in der Vorlesung definiert als [mm] u(x,t)=\phi(x-ct)+\psi(x+ct) [/mm] (sorry ich hatte in meiner Frage die falschen funktionsnamen hingeschrieben). Da [mm] x-ct=\xi [/mm] und [mm] x+ct=\eta [/mm] gilt, dann gilt doch auch u(x,t) = [mm] \phi(\xi) [/mm] + [mm] \psi(\eta) [/mm] (Das ist doch dann hier mit Variablensubstitution gemeint oder ?).
Danach wüsste ich aber nicht, wie ich zweimal Ableite, um  [mm] u_{xx} [/mm] und [mm] u_{tt} [/mm] herauszubekommen.


Bezug
                        
Bezug
Wellengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Di 23.10.2012
Autor: notinX


> Hallo,
>  
> danke für deine Antwort. Leider verstehe ich noch nicht
> alle Zusammenhänge, deswegen meine Frage dazu:
>  
> Also u(x,t) wurde bei uns in der Vorlesung definiert als
> [mm]u(x,t)=\phi(x-ct)+\psi(x+ct)[/mm] (sorry ich hatte in meiner
> Frage die falschen funktionsnamen hingeschrieben). Da

das hättest Du auch gleich dazuschreiben können. Woher sollen wir wissen, was in Deiner Vorlesung definiert wird ;-)

> [mm]x-ct=\xi[/mm] und [mm]x+ct=\eta[/mm] gilt, dann gilt doch auch u(x,t) =
> [mm]\phi(\xi)[/mm] + [mm]\psi(\eta)[/mm] (Das ist doch dann hier mit
> Variablensubstitution gemeint oder ?).

Ja, etwas genauer:
[mm] $u(x,t)=\phi(\xi(x,t))+\psi(\eta(x,t))$ [/mm]

> Danach wüsste ich aber nicht, wie ich zweimal Ableite, um  
> [mm]u_{xx}[/mm] und [mm]u_{tt}[/mm] herauszubekommen.
>  

Ok, vereinfachen wir Die Sache erstmal ein wenig. Ich schätze, die gewöhnliche Kettenregel kennst Du. Wenn man nun eine Funktion $f(x,t)=u(v(x,t))$ hat, ist die Ableitung:
[mm] $f_x(x,t)=\frac{\partial}{\partial v}u(v(x,t))\cdot\frac{\partial}{\partial x}v(x,t)$ [/mm]
Ist das soweit nachvollziehbar, und wenn ja, kannst Du damit was anfangen?

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Wellengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Di 23.10.2012
Autor: folken

Danke das hat mir geholfen,

Wenn ich dich richtig verstanden habe, wäre das Ergebnis dann:

[mm] u_{xx}=\phi''(\xi(x,t))+\psi''(\eta(x,t)) [/mm]

[mm] u_{tt}=c^2(\phi''(\xi(x,t))+\psi''(\eta(x,t))) [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Wellengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Di 23.10.2012
Autor: MathePower

Hallo folken,

> Danke das hat mir geholfen,
>  
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, wäre das Ergebnis
> dann:
>  
> [mm]u_{xx}=\phi''(\xi(x,t))+\psi''(\eta(x,t))[/mm]
>  
> [mm]u_{tt}=c^2(\phi''(\xi(x,t))+\psi''(\eta(x,t)))[/mm]  


Ja, das hast Du richtig verstanden. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
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