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Forum "Differentiation" - Sinn der linearen Näherung
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Sinn der linearen Näherung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mo 08.07.2019
Autor: FidelerBudenzauber

Aufgabe
[mm] x^2 [/mm] ln(x) linear approximieren an der Stelle 2,2

Hallo!

Ich schaue mir gerade etwas an, wie die Tangentengleichung als lineare Näherung verwendet werden kann. Eine Sache macht mich dabei stutzig:

Wenn ich obige Funktion an der Stelle 2,2 approximieren will, dann soll ich laut Aufgabe [mm] x_0 [/mm] = 2 wählen, wobei dann [mm] (x-x_0) [/mm] = 0,2 gilt.

Das heißt, ich berechne quasi den Wert der Tangente an der Stelle 2 als Näherung für 2,2.

Dazu muss ich ja aber den Funktionswert an der Stelle 2 berechnen. Das bringt nach meinem Verständnis ja nur dann was, wenn dieser Wert einfach zu berechnen ist.

Bei obiger Aufgabe ist doch aber f(2) nicht wirklich einfacher als f(2,2), oder?

Oder ein anderes Beispiel: [mm] \wurzel{149}. [/mm] Dazu muss ich mir irgendeine Wurzel suchen, die in der Nähe liegt und die ich leicht berechnen kann. Das wäre hier 144, was ich halt zufällig weiß.
Aber im Prinzip klapp das Ganze ja nur, wenn ich zufällig weiß, welcher Funktionswert in der Nähe leicht zu berechen ist, oder? Denn wenn ich hier mit [mm] \wurzel{100} [/mm] arbeite, dann bringt das ja auch nichts.

Oder übersehe ich hier etwas?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Sinn der linearen Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Mo 08.07.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn ich obige Funktion an der Stelle 2,2 approximieren
> will, dann soll ich laut Aufgabe [mm]x_0[/mm] = 2 wählen, wobei
> dann [mm](x-x_0)[/mm] = 0,2 gilt.
>  
> Das heißt, ich berechne quasi den Wert der Tangente an der
> Stelle 2 als Näherung für 2,2.

Hm nein. Der Wert der Tangente ist selbst keine Näherung für f(2,2)
Aber die Näherung von 2 bis 2,2 approximierst du, indem du dort die Änderung der Tangente von 2 bis 2,2 berechnest.
  

> Dazu muss ich ja aber den Funktionswert an der Stelle 2
> berechnen. Das bringt nach meinem Verständnis ja nur dann
> was, wenn dieser Wert einfach zu berechnen ist.

Korrekt.

> Bei obiger Aufgabe ist doch aber f(2) nicht wirklich
> einfacher als f(2,2), oder?

Ebenfalls korrekt.
[mm] $\ln(2)$ [/mm] ist jetzt nicht trivial.
  

> Oder ein anderes Beispiel: [mm]\wurzel{149}.[/mm] Dazu muss ich mir
> irgendeine Wurzel suchen, die in der Nähe liegt und die
> ich leicht berechnen kann. Das wäre hier 144, was ich halt
> zufällig weiß.

Oder durch versuchen herausgefunden hast.

> Aber im Prinzip klapp das Ganze ja nur, wenn ich zufällig
> weiß, welcher Funktionswert in der Nähe leicht zu
> berechen ist, oder? Denn wenn ich hier mit [mm]\wurzel{100}[/mm]
> arbeite, dann bringt das ja auch nichts.

Naja, der Fehler wird grösser.
Herausfinden zwischen welchen zwei Quadratzahlen eine dritte liegt, ist nun nicht sehr anspruchsvoll, aber deine Bedenken stimmen.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Sinn der linearen Näherung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Di 09.07.2019
Autor: FidelerBudenzauber

Hi,

danke für deine Antwort! Diese Aussage verwirrt mich allerdings etwas:

> Der Wert der Tangente ist selbst keine Näherung
> für f(2,2)
>  Aber die Näherung von 2 bis 2,2 approximierst du, indem
> du dort die Änderung der Tangente von 2 bis 2,2
> berechnest.

Es geht doch darum, einen Wert zu berechnen, der möglichst Nahe an dem gesuchten Funktionswert ist, oder? Und statt den mit der Originalfunktion zu berechnen, berechne ich ihn mit einer Funktion, die die Originalfunktion approximiert und setze einen x-Wert ein, der möglichst Nahe am eigentlichen x-Wert liegt.

Ich verstehe nicht, was du mit "Näherung von 2 bis 2,2" meinst. Also mit "Wert der Tangente" meinte ich, dass ich den nächstbesten x-Wert in die Tangentengleichung einsetze und dann eine y-Wert als Näherung des echten y-Werts erhalte.

Bezug
                        
Bezug
Sinn der linearen Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Di 09.07.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

  

> danke für deine Antwort! Diese Aussage verwirrt mich allerdings etwas:

Dann entwirren wir dich mal.

>  
> > Der Wert der Tangente ist selbst keine Näherung
> > für f(2,2)
>  >  Aber die Näherung von 2 bis 2,2 approximierst du,
> indem
> > du dort die Änderung der Tangente von 2 bis 2,2
> > berechnest.
>  
> Es geht doch darum, einen Wert zu berechnen, der möglichst
> Nahe an dem gesuchten Funktionswert ist, oder?

Sagen wir eher "ausreichend nah".

> Und statt den mit der Originalfunktion zu berechnen, berechne ich ihn
> mit einer Funktion, die die Originalfunktion approximiert

Korrekt.

> und setze einen x-Wert ein, der möglichst Nahe am
> eigentlichen x-Wert liegt.

Nein. Du verwendest immer noch den eigentlichen x-Wert.

Ist f(x) deine Funktion und t(x) deine Tangentengleichung, so gilt ja $t(x) [mm] \approx [/mm] f(x)$ und du setzt in t immer noch den eigentlichen x-Wert ein.
In deinem konkreten Beispiel, berechnest du ja noch immer t(2,2), wenn du f(2,2) approximieren willst.

> Ich verstehe nicht, was du mit "Näherung von 2 bis 2,2"
> meinst. Also mit "Wert der Tangente" meinte ich, dass ich
> den nächstbesten x-Wert in die Tangentengleichung einsetze
> und dann eine y-Wert als Näherung des echten y-Werts
> erhalte.

Was du eigentlich meinst: Du bestimmst die Tangentengleichungf für den "nächstbesten x-Wert" (in deinem Fall für x=2) und setzt in diese Tangentengleichung dann den eigentlichen x-Wert (in deinem Fall 2,2) ein.
Und ja: Das stimmt.

Mach dir klar, dass es nicht die Tangentengleichung gibt, sondern diese Abhängig vom gewählten "Ausgangswert" (in deinem Fall 2) ist.

Verwenden wir einfach mal eindeutige Bezeichner, dann redet man auch nicht aneinander vorbei:
Ist $t(x) = f'(a)(x-a) + f(a)$ die Tangentengleichung, so nennt man a den Entwicklungspunkt oder Stützstelle.

Aus der Definition wird auch klar, was ich meinte mit:

> Aber die Näherung von 2 bis 2,2 approximierst du, indem
> du dort die Änderung der Tangente von 2 bis 2,2
> berechnest.

$t(x)$ approximiert f(x) indem die Tangente bei a mit f übereinstimmt und ab dort (statt durch den Verlauf von f) durch den Anstieg der Tangenten approximiert wird. In deinem Beispiel: Bei $a=2$ stimmt die Tangente mit der Funktion überein und von 2 bis 2,2 approximierst du f dann durch den Verlauf der Tangente.

Soweit erst mal klar?

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Sinn der linearen Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:05 Mi 10.07.2019
Autor: HJKweseleit

Für das angegebene Rechenbeispiel ist das Verfahren mehr als Fingerübung anzusehen. Interessant wird es z.B. beim Wurzelziehen:

[mm] f(x)=\wurzel{a^2+x} [/mm]  mit [mm] (a\ge [/mm] 0).

f(0)=a
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{a^2+x}} [/mm]
[mm] f'(0)=\bruch{1}{2a} [/mm]
Tangentengleichung: [mm] y=a+\bruch{1}{2a}x [/mm]

Berechne nun [mm] \wurzel{150} [/mm] = [mm] \wurzel{12^2+6} \approx 12+\bruch{1}{2*12}*6 [/mm] = 12,25
Tatsächlicher Wert: 12,2474487...

Hinzu kommt: Weitere Näherungen führen zur Taylorreihe, ohne die man z.B. Werte für sin oder cos mit dem Rechner kaum vernünftig berechnen könnte. Und auch Potenzen (z.B. [mm] 4,3^{2,12345} [/mm] werden mit Hilfe solcher Taylorreihen im Rechner berechnet.

Bezug
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