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Fällt das a komplett weg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Do 04.09.2008
Autor: BlubbBlubb

wenn ich eine ungerade funktion habe dann ist [mm] a_n=0 [/mm]

[mm] a_n=\bruch{2}{p}*\integral_0^p{f(x)*cos(\bruch{\pi}{p}nx)dx } [/mm]

ist dann auch automatisch [mm] a_0 [/mm] = 0?





        
Bezug
Fällt das a komplett weg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Do 04.09.2008
Autor: Somebody


> wenn ich eine ungerade funktion habe dann ist [mm]a_n=0[/mm]
>  
> [mm]a_n=\bruch{2}{p}*\integral_0^p{f(x)*cos(\bruch{\pi}{p}nx)dx }[/mm]
>  
> ist dann auch automatisch [mm]a_0[/mm] = 0?

Ja. - Aber Vorsicht! Angenommen, es ist $f(x):= [mm] \sin(x)$ [/mm] und [mm] $p=\pi$. [/mm] Sind dann die [mm] $a_n$ [/mm] alle $0$ oder nicht? - Antwort: sie sind nicht alle $0$. Grund: die obige Behauptung gilt nur, wenn die periodische Fortsetzung der Funktion [mm] $f:[0;p]\rightarrow\IR$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] ungerade ist. Siehe dazu auch diese Antwort.

Bezug
                
Bezug
Fällt das a komplett weg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Do 04.09.2008
Autor: BlubbBlubb

warum kommt aber dann bei der funktion f(x)=x mit der periode [mm] {-\pi bis \pi} [/mm] welches eine ungerade funktion darstellt

[mm] a_0=2\pi [/mm] heraus wenn ich das ausrechne

und nicht  [mm] a_0=0? [/mm]



p.s. ich hab meine grenzen im integral von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] laufen lassen

Bezug
                        
Bezug
Fällt das a komplett weg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Do 04.09.2008
Autor: leduart

Hallo
weil du wohl nen Fehler gemacht hast!
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Fällt das a komplett weg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:13 Fr 05.09.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> warum kommt aber dann bei der funktion f(x)=x mit der
> periode [mm]{-\pi bis \pi}[/mm] welches eine ungerade funktion
> darstellt
>
> [mm]a_0=2\pi[/mm] heraus wenn ich das ausrechne
>  
> und nicht  [mm]a_0=0?[/mm]
>  
>
> p.s. ich hab meine grenzen im integral von 0 bis [mm]2\pi[/mm]
> laufen lassen

also wenn wir diese so "periodifizierte" Funktion mal ebenso $f$ nennen, so erhalte ich:

$$
[mm] \pi*a_0\,=\,\int\limits_{0}^{2\,\pi}\,f(x)\;dx=\int\limits_{0}^{\pi}\,xdx+\int\limits_{\pi}^{2\,\pi}\,(-\,2\,\pi+x)\;dx\;=\;\frac{\pi^2}{2}\;-\;2\,\pi^2+\frac{4\pi^2}{2}-\frac{\pi^2}{2}=0 [/mm]
$$

und damit [mm] $a_0=0$. [/mm]

Dein Fehler wird sein, dass Du einfach:

$$
  [mm] \pi*a_0=\int\limits_{0}^{2\,\pi}\,\red{x}\;dx [/mm]
$$

berechnest, allerdings wird die obige "periodisch fortgesetzte" Funktion $f$ auf [mm] $]\pi,\,2\,\pi[$ [/mm] nicht mehr durch [mm] $\black{f(x)=x}$, [/mm] sondern eben durch [mm] $f(x)=x-2\,\pi$ [/mm] beschrieben. Skizziere Dir mal den Graphen dieser periodisch fortgesetzten Funktion $f$. Dort kann ja nicht [mm] $\black{f(x)=x}$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] gelten, denn zum einen ist [mm] $f_1(x)=x$, [/mm] auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] alles andere als periodisch, und zudem muss ja [mm] $f(0)=0=f(2\,\pi)$ [/mm] gelten, aber mit [mm] $f_1(x)=x$ [/mm] ist [mm] $f_1(2\,\pi)=2\,\pi \not= [/mm] 0$.

Hier auch mal ein Bild, der den Graphen der Funktion andeutet (die unterschiedlichen Farben dienen dazu, dass Du erkennst, wie die Funktionsgleichung auf dem jeweiligen Stück aussieht:
Blau: [mm] $f(x)=2\pi+x$, [/mm]
Rot: [mm] $\black{f(x)=x}$, [/mm]
Grün: [mm] $f(x)=x-2\,\pi$.) [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Gruß,
Marcel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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