Fällt das a komplett weg < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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wenn ich eine ungerade funktion habe dann ist [mm] a_n=0
[/mm]
[mm] a_n=\bruch{2}{p}*\integral_0^p{f(x)*cos(\bruch{\pi}{p}nx)dx }
[/mm]
ist dann auch automatisch [mm] a_0 [/mm] = 0?
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> wenn ich eine ungerade funktion habe dann ist [mm]a_n=0[/mm]
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> [mm]a_n=\bruch{2}{p}*\integral_0^p{f(x)*cos(\bruch{\pi}{p}nx)dx }[/mm]
>
> ist dann auch automatisch [mm]a_0[/mm] = 0?
Ja. - Aber Vorsicht! Angenommen, es ist $f(x):= [mm] \sin(x)$ [/mm] und [mm] $p=\pi$. [/mm] Sind dann die [mm] $a_n$ [/mm] alle $0$ oder nicht? - Antwort: sie sind nicht alle $0$. Grund: die obige Behauptung gilt nur, wenn die periodische Fortsetzung der Funktion [mm] $f:[0;p]\rightarrow\IR$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] ungerade ist. Siehe dazu auch diese Antwort.
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warum kommt aber dann bei der funktion f(x)=x mit der periode [mm] {-\pi bis \pi} [/mm] welches eine ungerade funktion darstellt
[mm] a_0=2\pi [/mm] heraus wenn ich das ausrechne
und nicht [mm] a_0=0?
[/mm]
p.s. ich hab meine grenzen im integral von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] laufen lassen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
weil du wohl nen Fehler gemacht hast!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> warum kommt aber dann bei der funktion f(x)=x mit der
> periode [mm]{-\pi bis \pi}[/mm] welches eine ungerade funktion
> darstellt
>
> [mm]a_0=2\pi[/mm] heraus wenn ich das ausrechne
>
> und nicht [mm]a_0=0?[/mm]
>
>
> p.s. ich hab meine grenzen im integral von 0 bis [mm]2\pi[/mm]
> laufen lassen
also wenn wir diese so "periodifizierte" Funktion mal ebenso $f$ nennen, so erhalte ich:
$$
[mm] \pi*a_0\,=\,\int\limits_{0}^{2\,\pi}\,f(x)\;dx=\int\limits_{0}^{\pi}\,xdx+\int\limits_{\pi}^{2\,\pi}\,(-\,2\,\pi+x)\;dx\;=\;\frac{\pi^2}{2}\;-\;2\,\pi^2+\frac{4\pi^2}{2}-\frac{\pi^2}{2}=0
[/mm]
$$
und damit [mm] $a_0=0$.
[/mm]
Dein Fehler wird sein, dass Du einfach:
$$
[mm] \pi*a_0=\int\limits_{0}^{2\,\pi}\,\red{x}\;dx
[/mm]
$$
berechnest, allerdings wird die obige "periodisch fortgesetzte" Funktion $f$ auf [mm] $]\pi,\,2\,\pi[$ [/mm] nicht mehr durch [mm] $\black{f(x)=x}$, [/mm] sondern eben durch [mm] $f(x)=x-2\,\pi$ [/mm] beschrieben. Skizziere Dir mal den Graphen dieser periodisch fortgesetzten Funktion $f$. Dort kann ja nicht [mm] $\black{f(x)=x}$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] gelten, denn zum einen ist [mm] $f_1(x)=x$, [/mm] auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] alles andere als periodisch, und zudem muss ja [mm] $f(0)=0=f(2\,\pi)$ [/mm] gelten, aber mit [mm] $f_1(x)=x$ [/mm] ist [mm] $f_1(2\,\pi)=2\,\pi \not= [/mm] 0$.
Hier auch mal ein Bild, der den Graphen der Funktion andeutet (die unterschiedlichen Farben dienen dazu, dass Du erkennst, wie die Funktionsgleichung auf dem jeweiligen Stück aussieht:
Blau: [mm] $f(x)=2\pi+x$,
[/mm]
Rot: [mm] $\black{f(x)=x}$,
[/mm]
Grün: [mm] $f(x)=x-2\,\pi$.)
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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