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| Aufgabe | Zur Illustartion des Quantorenkalküls wird die Aussage
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_{\varepsilon} \forall [/mm] n [mm] \in \IN: n>n_{\varepsilon} \Rightarrow \vmat{ a_{n} } [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
betrachtet. Sie bedeutet, dass die Folge [mm] a_{1},a_{2}... [/mm] gegen 0 strebt, das heißt für hinreichend großes n wird der Betrag von [mm] a_{n} [/mm] kleiner als jede vorgegebene Schranke [mm] \varepsilon. [/mm] |
Hallo erstmal. Das hier ist mein erster Post im matheraum. Bin regelrecht begeistert, dass ich ihn gefunden habe. Studiere ab April Mathe an der Fern Uni Hagen und wollte mich schon einmal ein wenig vorbereiten. Hab dann im Internet ein Grundlagenkurs entdeckt und wollte den mal bis zum April durchpaucken.
Thema ist Aussagenlogik. Und ich verstehe leider überhaupt nicht, wie man von der oben geschilderten Aussage darauf kommt, dass das heißen soll, dass a1 und a2 usw. gegen 0 strebt???
Könnte mir evtl jmd helfen, wie das zu verstehen ist. Was [mm] \forall [/mm] und [mm] \exists [/mm] heißt, verstehe ich schon. Aber was zur Hölle ist [mm] n_{\varepsilon} [/mm] ?
Und überhaupt. Ich glaube ich bräuchte hier ne relativ ausführliche Antwort, da mir dieser ganze Kauderwelsch ziemlich strange vorkommt.
Wäre echt suuuuuuper, wenn sich jmd die Zeit nehmen würde.
P.S.: Bin schon 28, also ist mein Abi ne Weile her 
Vielen Dank schonmal für's Lesen. Und bis bald.
LG Falko
P.S.: Wenn ich irgendetwas falsch gemacht habe, in bezug auf meinen ersten Post, wäre ich für Kritik echt dabkbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Sa 17.01.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Falko,
zunächst einmal die "wörtliche" Übersetzung:
Für alle Epsilon größer Null gibt es ein n-Epsilon, so daß für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn n größer n-Epsilon ist, dann ist der Betrag von den n-ten Folgegliedes kleiner als Epsilon.
Jetzt (hoffentlich) etwas verständlicher:
Zu jedem beliebigen Epsilon>0 läßt sich die Nummer eines Folgegliedes (das ist das n-Epsilon) angeben, so daß alle Folgeglieder, die nach dem benannten kommen betragsmäßig kleiner als Epsilon sind.
Und noch eine Stufe anschaulicher:
Du spielst ein Spiel gegen einen Gegner. Der Gegner gibt dir sehr kleine positive Zahlen als Herausforderung vor und du mußt zu jeder solchen Zahl angeben, ab wann die betrachtete Folge betragsmäßig die vorgegebene Zahl dauerhaft unterschreitet. Wenn du das immer kannst, dann hast du gewonnen (=die Folge ist eine Nullfolge). Gibt es jedoch eine (kleine) Zahl, zu der sich ein solches Startglied der Folge nicht finden läßt, dann ist es keine Nullfolge und du hast verloren
war das verständlich?
Gruß
Will
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Hallo, erstma tausend Dank für deine schnelle Antwort. Ist echt super hier das Matheforum.
Aber leider habe ich immer noch ein paar (wenn auch weniger, dank dir) Probleme.
Und zwar komme ich nicht ganz klar mit dem [mm] a_{n} [/mm] und [mm] \varepsilon. [/mm] Ist das jetzt so zu verstehen: [mm] a_{n_{\varepsilon}}
[/mm]
Ich versteg halt nicht, warum vorher im Aussagenstamm von [mm] \varepsilon [/mm] die Rede ist und von n. Und dann wird daraus in der Aussage auf einmal [mm] a_{n}.
[/mm]
Wie gesagt hatte lange kein Mathe mehr, bin aber voller Tatendrang und würde so gerne alles immer sofort verstehen
Ich verstehe das so, dass aus diesem ganzen Kaudawelsch wird:
[mm] a_{1} [/mm] > [mm] a_{2} [/mm] usw.
Ist das richtig? Und wenn zufälligerweise ja, dann verstehe ich immer noch nicht, wie man das aus dem Kaudawelsch heraus liest?!?!
Bin echt durcheinander
Aber vielen Dank für deine Mühe bisher.
Liebe Grüße aus Berlin, Falko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Vreni |
> Hallo, erstma tausend Dank für deine schnelle Antwort. Ist
> echt super hier das Matheforum.
>
> Aber leider habe ich immer noch ein paar (wenn auch
> weniger, dank dir) Probleme.
>
> Und zwar komme ich nicht ganz klar mit dem [mm]a_{n}[/mm] und
> [mm]\varepsilon.[/mm] Ist das jetzt so zu verstehen:
> [mm]a_{n_{\varepsilon}}[/mm]
>
> Ich versteg halt nicht, warum vorher im Aussagenstamm von
> [mm]\varepsilon[/mm] die Rede ist und von n. Und dann wird daraus in
> der Aussage auf einmal [mm]a_{n}.[/mm]
>
Hallo Falko,
ich versuchs auch noch mal. Ich gebe zu, man muss sich erst etwas in diese Denkweise reindenken.
Also, man fängt an mit für alle [mm] \epsilon. [/mm] Das heißt, man gibt eine bestimmte Zahl vor, unter der der Betrag von bestimmten Folgengliedern liegen soll. Und dann kommt dieses [mm] n_{\epsilon} [/mm] ins Spiel. Vielleicht hilft es dir, wenn man stattdessen [mm] n(\epsilon) [/mm] schreibt, also eine Funktion, die jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] n(\epsilon) [/mm] zuordnet.
Das n ist eigentlich immer ein Index, mit dem man auf ein bestimmtes Folgenglied zugreift. Wenn ich z.B. von [mm] a_n, [/mm] n>35 rede, dann meine ich damit irgendein Element aus [mm] \{a_{36}, a_{37}, a_{38}, a_{39}, a_{40}, a_{41},...\}
[/mm]
wobei die Reihenfolge dabei keine Rolle spielt, es ist ja eine Menge.
in der Aussage steht jetzt: wenn [mm] n>n(\epsilon) [/mm] ist, dann...
d.h., wenn [mm] n\le n(\epsilon) [/mm] ist, interessiert es uns gar nicht.
Also: wenn ich ein beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] wähle, gibt es dazu ein [mm] n(\epsilon), [/mm] das von der Folge und von [mm] \epsilon [/mm] abhängt, so, dass wenn ich alle [mm] a_n, [/mm] die vor [mm] a_{n(\epsilon)} [/mm] liegen und auch [mm] a_{n(\epsilon)} [/mm] selbst ignoriere, der Betrag von allen übrigen Folgengliedern kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ist.
D.h. in der Aussage steht zwar hinten wieder [mm] a_n, [/mm] aber dieses [mm] a_n [/mm] ist mit der Bedingung [mm] n>n(\epsilon) [/mm] mit [mm] n(\epsilon) [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] verbunden.
Und wenn ich jetzt [mm] \epsilon [/mm] ganz klein wähle, kann ich ein [mm] n(\epsilon) [/mm] finden, so dass alle folgenglieder die nach [mm] a_{n(\epsilon)} [/mm] kommen, noch näher als [mm] \epsilon [/mm] an 0 liegen. D.h., nach [mm] a_{n(\epsilon)} [/mm] kommt die Folge [mm] a_n [/mm] ganz nahe an 0 ran. Und wenn ich [mm] \epsilon [/mm] noch kleiner wähle, kommt die Folge ab dem neuen [mm] a_n(\epsilon) [/mm] auch wieder so nahe an 0 ran usw.
> Wie gesagt hatte lange kein Mthe mehr, bin aber voller
> Tatendrang und würde so gerne alles immer sofort verstehen
>
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> Ich verstehe das so, dass aus diesem ganzen Kaudawelsch
> wird:
>
> [mm]a_{1}[/mm] > [mm]a_{2}[/mm] usw.
>
nein, dass wäre die Aussage, dass [mm] a_n [/mm] monoton fällt. aber z.B. die Folge [mm] a_n=(-1)^n \frac{1}{n} [/mm] ist eine Nullfolge, aber nicht monoton fallend. [mm] (n(\epsilon) [/mm] wäre hier z.B. [mm] \frac{1}{\epsilon}+1 [/mm] auf die nächste ganze Zahl aufgerundet).
Gruß,
Vreni
> Ist das richtig? Und wenn zufälligerweise ja, dann verstehe
> ich immer noch nicht, wie man das aus dem Kaudawelsch
> heraus liest?!?!
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> Bin echt durcheinander
>
> Aber vielen Dank für deine Mühe bisher.
>
> Liebe Grüße aus Berlin, Falko
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Hallo Vreni,
erstmal auch dir tausend Dank, dass du dir so viel Mühe gemacht hast.
Ich bin ein ganzes Stück schlauer geworden. Aber mir ist immer noch nicht ganz klar, woher du sofort annimmst, dass es sich hier um eine Folge handelt.
Also ich habe jetzt mit Logik angefangen und finde es sehr interessant und verstehe eigtl auch alles. Aber mir wird wie gesagt nicht ganz klar, woraus du erkennst, dass es sich hier um eine Folge handelt.
Hat das was mit dem [mm] \varepsilon [/mm] zu tun? Steht das immer für Folgen?
Ich fass nochmal zusammen, wie ich es bisher verstehe:
Also, Die ganze Aussage gilt für alle [mm] \varepsilon, [/mm] die größer 0 sind.
Problem Nummer eins. Was ist [mm] \varepsilon. [/mm] Einfach ein Symbol für jede x-beliebige Zahle, also 1,2,3,4 usw.?
So weiter, für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 gilt nun, dass mindestens ein [mm] n(\varepsilon) [/mm] (wobei n alles natürlich Zahlen sein müssen) gilt:
Problem 2. was ist nun [mm] n(\varepsilon). [/mm] Ich meine diese n's stehen ja immer für Indizes [mm] a_{n}. [/mm] Beispiel bei 1,2,3,4 ist [mm] a_{4} [/mm] gleich 4. Aber wo ist nun [mm] n(\varepsilon) [/mm] ? bei 1,2,3,4 ?
Aber ok. Also für das alles gilt: [mm] n>n(\varepsilon). [/mm]
Problem 3. Hat das damit zu tun, dass [mm] n(\varepsilon) [/mm] immer ein Folgeglied ist? Aber dann würde man doch schreiben n+1?
Du siehst leider bin ich noch ziemlich grün hinter den Ohren.
Das Studium hat ja zum Glück noch nicht angefangen. ISt ja schließlich alles Selbsstudium, mir hat es ja noch kein Prof erklärt, was mich ein wenig beruhigt.
Vielleicht könntest Du ja mal diese Zahlenfolge aufschreiben, um es mir zu erklären, oder geht das gar nicht?
Also nochmals vielen Dank für deine/eure Mühe, aber ich denke es hakt (leider) immer noch ein wenig? (schäm)
LG Falko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 So 18.01.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Falko,
> wie gesagt nicht ganz klar, woraus du erkennst, dass es
> sich hier um eine Folge handelt.
Es ist üblich mit [mm] $a_n$ [/mm] das n-te Glied einer Folge zu bezeichnen.
In der Mathematik nummeriert man Variablen gerne durch und da nach Vorgabe $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist, kann man die Variablen [mm] $a_n$ [/mm] aufzählen. Das reicht schon aus, um es eine Folge zu nennen.
> Hat das was mit dem [mm]\varepsilon[/mm] zu tun? Steht das immer
> für Folgen?
Nein, [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist einfach eine positive reelle Zahl.
> Ich fass nochmal zusammen, wie ich es bisher verstehe:
> Also, Die ganze Aussage gilt für alle [mm]\varepsilon,[/mm] die
> größer 0 sind.
> Problem Nummer eins. Was ist [mm]\varepsilon.[/mm] Einfach ein
> Symbol für jede x-beliebige Zahle, also 1,2,3,4 usw.?
genau... und auch jede Kommazahl... alle positiven reellen.
> So weiter, für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 gilt nun, dass
> mindestens ein [mm]n(\varepsilon)[/mm] (wobei n alles natürlich
> Zahlen sein müssen) gilt:
> Problem 2. was ist nun [mm]n(\varepsilon).[/mm] Ich meine diese n's
> stehen ja immer für Indizes [mm]a_{n}.[/mm] Beispiel bei 1,2,3,4 ist
> [mm]a_{4}[/mm] gleich 4. Aber wo ist nun [mm]n(\varepsilon)[/mm] ? bei
> 1,2,3,4 ?
[mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] soll andeuten, daß die Wahl dieses n vom Wert von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängt.
> Aber ok. Also für das alles gilt: [mm]n>n(\varepsilon).[/mm]
Nein. Für das alles gilt die Folgerung: Wenn $n > [mm] n(\varepsilon)$ [/mm] dann ...
LG
Will
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Ich glaube ich hab's fast geschnallt. Ist echt schön wenn der Groschen fällt.
Ich fass ma zusammen, wie ich die Dinge jetzt verstehe:
Man nehme eine beliebige Zahl größer 0 ( [mm] \forall\varepsilon>0 [/mm] ), von dieser Zahl hängt n ab ( [mm] \exists\ n\varepsilon [/mm] ). Wobei das Ergebnis dieser Funktion immer eine natürliche Zahl rsein wird ( [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ).
So dass gilt: WENN
n [mm] >n\varepsioln
[/mm]
(hier hakts noch ein wenig) Weil ich nicht verstehe wie n [mm] >n\varepsilon [/mm] sein kann. Ist für mich so, als würde man sagen y(x)>y.
dann ist der Betrag (also die tatsächliche Zahl, oder?) [mm] a_{n} [/mm] größer als [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also wenn mir das hier noch einer erklären könnte, ich glaube dann bin ich fertig damit: y(x)>y
Ist denn der Rest von oben richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mo 19.01.2009 | | Autor: | MacMath |
> (hier hakts noch ein wenig) Weil ich nicht verstehe wie n
> [mm]>n\varepsilon[/mm] sein kann. Ist für mich so, als würde man
> sagen y(x)>y.
Es geht ja um die Zahlen [mm] \varepsilon [/mm] die Nahe an Null liegen, große epsilons sind uninteressant (Faustregel: [mm] \varepsilon=winzige [/mm] aber positive Zahl ;) )
Also Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei [mm] \varepsilon<1
[/mm]
dann folgt sofort [mm]n\varepsilon<1*\varepsilon=\varepsilon[/mm]
>
> dann ist der Betrag (also die tatsächliche Zahl, oder?)
> [mm]a_{n}[/mm] größer als [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Also wenn mir das hier noch einer erklären könnte, ich
> glaube dann bin ich fertig damit: y(x)>y
>
> Ist denn der Rest von oben richtig?
Sehe beim kurzen drübersehen keinen Fehler... allerdings fehlt mir schlaf caused by respectunited *happy*
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