vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mi 31.10.2007 | | Autor: | jura28 |
| Aufgabe | 1.Aufgabe:Zeigen sie durch vollständige Induktion, dass für alle rellen Zahlen x mit [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le1 [/mm] und für alle natürlichen Zahlen n die folgende Ungleichung gilt:
[mm] (1+x)^n\le1+(2^n-1)*x
[/mm]
2.Aufgabe: Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die Zahl [mm] n^3-4*n [/mm] für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge3 [/mm] durch 3 teilbar ist.
|
Hallo!
Also ich weiß wie ich eine Induktion aufbauen muss, aber ich komme irgendwie grad nicht weiter.
Bei der ersten Aufgabe bin ich soweit gekommen:
[mm] (1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x)\le(1+(2^n-1)*x)*(1+x)\le1+x+(2^n-1)*x+(2^n-1)*x^2\le(1+x)*(1+(2^n-1)*x)
[/mm]
Aber wie muss ich jetzt weiter machen, damit ich zum Ziel komme?
Ja und bei der zweiten Aufgabe bin ich soweit gekommen:
[mm] 3|(n+1)^3-4*(n+1)
[/mm]
[mm] 3|(n+1)*((n+1)^2-4)
[/mm]
3|(n+1)*(n+3)*(n-1)
wie muss ich jetzt weiter machen, dass deutlich wird, dass der rechte Term auf alle Fälle durch 3 teilbar ist?
Danke schon einmal im Voraus für eure Hilfe!!
|
|
| |
|
> 1.Aufgabe:Zeigen sie durch vollständige Induktion, dass für
> alle rellen Zahlen x mit [mm]0\le[/mm] x [mm]\le1[/mm] und für alle
> natürlichen Zahlen n die folgende Ungleichung gilt:
> [mm](1+x)^n\le1+(2^n-1)*x[/mm]
>
> 2.Aufgabe: Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass
> die Zahl [mm]n^3-4*n[/mm] für alle natürlichen Zahlen [mm]n\ge3[/mm] durch 3
> teilbar ist.
>
> Hallo!
> Also ich weiß wie ich eine Induktion aufbauen muss, aber
> ich komme irgendwie grad nicht weiter.
> Bei der ersten Aufgabe bin ich soweit gekommen:
>
[mm] >(1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x)\le(1+(2^n-1)*x)*(1+x)\le1+x+(2^n-1)*x+(2^n-1)*x^2
[/mm]
Hallo,
bis hierher kann ich gut folgen, der nächste Schritt, den Du machst, ist Unfug, dann Du klammerst ja genau das wieder aus, was Du gerade zuvor ausmultipliziert hast.
Du solltest an dieser Stelle bedenken, daß nach Voraussetzung [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 , also [mm] x^2
Dann solltest Du bis zum Ende kommen.
[mm] \le(1+x)*(1+(2^n-1)*x)
[/mm]
> Aber wie muss ich jetzt weiter machen, damit ich zum Ziel
> komme?
>
> Ja und bei der zweiten Aufgabe bin ich soweit gekommen:
> [mm]3|(n+1)^3-4*(n+1)[/mm]
Ich finde das mit dem Geteiltzeichen sehr unhandlich und wenig freundlich zum Rechnen.
Mach das lieber so:
zu zeigen: es gibt ein [mm] k_n \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{ n^3-4\cdot{}n }{3}=k_n.
[/mm]
Dann kannst Du nämlich vernünftig rechnen.
Ich gehe davon aus, daß Du Induktionsanfang und Voraussetzung hast, und springe in den Induktionsschluß.
Es ist
[mm] \bruch{(n+1)^3-4\cdot{}(n+1)}{3}
[/mm]
=... Nun löse die Klammer auf, schaufle [mm] \bruch{ n^3-4\cdot{}n }{3} [/mm] zur Seite und schau nach, ob das, was Du übrig behältst, auch eine natürliche Zahl ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Mi 31.10.2007 | | Autor: | jura28 |
Super Danke Angela!
Nach deinen Tipps ist es mir super leicht gefallen! Hatte wohl davor ein Brett vor dem Kopf! Danke für deine Hilfe! Jura28
|
|
|
|
