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Forum "Integration" - uneigentliche Integrale
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uneigentliche Integrale: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Do 11.12.2014
Autor: Aladdin

Aufgabe
Man untersuche folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz:

a)  [mm] $ \integral_{-\infty}^{\infty} e^-^2^\left| x \right|\ [/mm] $ $ dx $

Guten abend,

wie gehe ich an diese Aufgabe ran?

ich würde als erstes a) integrieren und danach den Grenzwert betrachten.
nun habe ich aber das Problem, dass wenn ich richtig liegen sollte, eine Fallunterscheidung machen muss und es dann addiere.
Aber ich kriege diese Fallunterscheidung nicht hin. Ich weiß nicht, wie ich a) in zwei Splitten kann somit ich beide einzeln integrieren kann.

LG

        
Bezug
uneigentliche Integrale: Betragsfunktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Do 11.12.2014
Autor: Loddar

Hallo Aladdin!


Es gilt:  [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}} \ = \ \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}}[/mm]

Nun wende hier die Definition der Betragsfunktion an mit:

[mm]|x| \ := \ =\begin{cases} -x, & \textrm{für } x < 0 \\ +x, & \textrm{für } x \ge 0 \end{cases}[/mm]


Gruß
Loddar

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uneigentliche Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Do 11.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Aladdin!
>  
>
> Es gilt:  [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}} \ = \ \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}}+\integral_{}^{\infty}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}}[/mm]

ich schlage vor, erstmal weiterzurechnen:

    [mm] $=2*\int_0^\infty e^{-2|x|}dx=2*\int_0^\infty e^{-2x}dx$ [/mm]

Grund: Für gerade Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] gilt (mit Substitutionsregel)

    [mm] $\int_{-a}^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx+\int_0^a f(x)dx=\int_{-t=-a}^{-t=0} f(-t)d(-t)+\int_0^a f(x)dx=\int_{t=0}^{t=a} \underbrace{f(-t)}_{=f(t)}dt+\int_0^a f(x)dx=2*\int_0^a f(x)dx\,.$ [/mm]

(Weiterer Tipp/Hinweis: Skizze!)

Gruß,
  Marcel

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uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Do 11.12.2014
Autor: Aladdin

Danke für deine Antwort,

eine kurze Verständnisfrage

wenn ich die Definition der Betragsfunktion anwende:

$   [mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}+\integral_{}^{\infty}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ oder?

und ist bei dem zweiten Integral  die untere Grenze 0?

LG

LG


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Bezug
uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Do 11.12.2014
Autor: leduart

Hallo
ja
Gruß leduart

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uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 So 14.12.2014
Autor: Aladdin

Guten morgen,

[mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm]

wenn ich nun [mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] integriere, bekomme ich [ [mm] -\bruch{1}{2}e^{-2x}] [/mm] raus.

wenn ich nun [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] integriere,
bekomme ich  [ [mm] \bruch{1}{2}e^{2x}] [/mm] raus.

jetzt hätte ich ein Problem, wie setze ich die Grenzen ein, weil da steht ja unendlich?

LG


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Bezug
uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 So 14.12.2014
Autor: fred97


> Guten morgen,
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}[/mm]



Es ist doch

$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} $=\integral_{-\infty}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}x} \ \mathrm{dx}} [/mm]


>
> wenn ich nun [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}}[/mm]
> integriere, bekomme ich [ [mm]-\bruch{1}{2}e^{-2x}][/mm] raus.
>  
> wenn ich nun [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}[/mm]
> integriere,
>  bekomme ich  [ [mm]\bruch{1}{2}e^{2x}][/mm] raus.
>  
> jetzt hätte ich ein Problem, wie setze ich die Grenzen
> ein, weil da steht ja unendlich?

Wie ist denn ein uneigentliches Integral definiert ???

FRED

>  
> LG
>  


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uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 So 14.12.2014
Autor: Aladdin

Hallo,
ich habe das gefunden:

Falls das Integrationsintervall unendlich ist, berechnet man das
Integral durch zusätzlichen Grenzübergang

$ [mm] \integral_{a}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx $ = $ [mm] \limes_{\lambda \to \infty}\integral_{a}^{\lambda}f(x) [/mm] dx $

wenn ich das bei,

$ [mm] =\integral_{-\infty}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ anwenden würde hätte ich ja,

[mm] \limes_{\lambda \to -\infty} [/mm] $ [mm] =\integral_{\lambda}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{\lambda \to -\infty} [/mm] $ $ [mm] [\bruch{1}{2}e^{2x}] [/mm] $

obere Grenze eingesetzt, wäre $ 0,5 $ nun würde ich nicht weiter wissen, setze ich die untere grenze ein geht es gegen +unendlich :S

LG

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Bezug
uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 So 14.12.2014
Autor: hippias


> Hallo,
>  ich habe das gefunden:
>  
> Falls das Integrationsintervall unendlich ist, berechnet
> man das
>  Integral durch zusätzlichen Grenzübergang
>  
> [mm]\integral_{a}^{\infty} f(x) \, dx[/mm] = [mm]\limes_{\lambda \to \infty}\integral_{a}^{\lambda}f(x) dx[/mm]
>
> wenn ich das bei,
>  
> [mm]=\integral_{-\infty}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}[/mm] anwenden
> würde hätte ich ja,
>  
> [mm]\limes_{\lambda \to -\infty}[/mm]  
> [mm]=\integral_{\lambda}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}[/mm] =
> [mm]\limes_{\lambda \to -\infty}[/mm] [mm][\bruch{1}{2}e^{2x}][/mm]
>  
> obere Grenze eingesetzt, wäre [mm]0,5[/mm]

Soweit alles richtig.

> nun würde ich nicht
> weiter wissen, setze ich die untere grenze ein geht es
> gegen +unendlich :S

Nein, da hast Du Dich vertan; der Grenzwert lautet anders.

>  
> LG


Bezug
                                                
Bezug
uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 So 14.12.2014
Autor: Aladdin

Hallo,

$ [mm] \integral_{\lambda}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{\lambda \to -\infty} [/mm] $ $ [mm] [\bruch{1}{2}e^{2x}] [/mm] $

obere Grenze wäre $ 0,5 $ und die untere laut Wolfram 0 das heißt:

$ 0,5-0=0,5 $

und wenn ich es nun mit dem zweiten mache hätte ich:

$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ = [mm] \limes_{\lambda \to \infty} [/mm] $ [mm] [-\bruch{1}{2}e^{-2x}] [/mm] $

obere Grenze gegen 0 untere grenze gegen $ [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $

und dann beide Integrale miteinander addieren ergibt 1, da ein Grenzwert existiert konvergiert dieses uneigentliche Integral stimmt das?

als ich den Grenzwert gegen + bzw - unendlich laufen lassen habe kam bei mir immer was anderes raus. Laut Wolfram ist es zwar 0, aber ich kam nicht darauf. Könnte mir einer bitte sagen, wieso es so ist?

LG

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Bezug
uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 14.12.2014
Autor: hippias


>  
> als ich den Grenzwert gegen + bzw - unendlich laufen lassen
> habe kam bei mir immer was anderes raus. Laut Wolfram ist
> es zwar 0, aber ich kam nicht darauf. Könnte mir einer
> bitte sagen, wieso es so ist?

Du hast Dich verrechnet.

>  
> LG


Bezug
                                                                
Bezug
uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 So 14.12.2014
Autor: Aladdin

ja okay, aber ist denn das andere richtig mit 1 und deswegen konvergiert es?
oder hast du dich darauf bezogen?

LG

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uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 So 14.12.2014
Autor: hippias

Der Wert des uneigentlichen Integrals ist $1$.

Bezug
                                                                        
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uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 So 14.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

Du brauchst kein Wolframalpha für solche Aufgaben:

    [mm] $...=[e^{2x}]_{-\infty}^0$ $\,=\,$ $e^{2*0}-\limes_{\lambda \to -\infty}e^{2*\lambda}$ $\,=\,$ $1-e^{\lim_{\lambda \to \red{+}\infty}2*(-\lambda)}=1-(e^{\lim_{\lambda \to \infty}(-\lambda)})^2=1-0^2=1-0=1\,.$ [/mm]

Beachte:

    $0 < [mm] e^{-r}=1/e^r \to [/mm] 0$ bei $r [mm] \to \infty\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

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uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Fr 12.12.2014
Autor: fred97

  $ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} [/mm] \ $

ist konvergent

[mm] \gdw [/mm]


[mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} [/mm]

sind konvergent

FRED


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uneigentliche Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:38 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Fred,

>   [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} \[/mm]
>  
> ist konvergent
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}}[/mm] und
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}}[/mm]
> sind konvergent

[mm] $\iff$ $\int_0^\infty e^{-2x}dx$ [/mm] ist konvergent [mm] ($\IR \ni [/mm] x [mm] \longmapsto e^{-2|x|}$ [/mm] ist eine gerade Funktion).

P.S. Deine Ergänzung ist aber wichtig, denn sie stellt vielleicht klar, dass das,
was ich in der anderen Mitteilung gesagt habe, nicht im Sinne des Cauchyschen
Hauptwerts ("symmetrische Version") gemeint war!

Gruß,
  Marcel

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