Übungsaufgaben zu Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Timowob |
Hallo...
ich habe folgende Aufgabe in einer alten Klausur gefunden:
Seien x,y,z Vektoren mit n Komponenten und <x,y,z> die Menge der von x,y,z erzeugten Vektoren. Welche der folgenden Aussagen trifft zu und welche nicht.
(a) Sind x,y,z linear unabhängig, so ist <x,y,z> ungleich <y,z>.
(b) ist <x,y,z> ungleich <y,z>, so sind x,y,z linear unabhängig.
Mein Ansatz ist, daß <y,z> eine Linearkombination zu X sein kann und somit die Menge <x,z>=<x,y,z> ist. Aber weiter weiß ich leider nicht... Hat jemand von Euch eine Idee?
Viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 So 20.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Timo!
> Seien x,y,z Vektoren mit n Komponenten und <x,y,z> die
> Menge der von x,y,z erzeugten Vektoren. Welche der
> folgenden Aussagen trifft zu und welche nicht.
> (a) Sind x,y,z linear unabhängig, so ist <x,y,z> ungleich
> <y,z>.
> (b) ist <x,y,z> ungleich <y,z>, so sind x,y,z linear
> unabhängig.
>
> Mein Ansatz ist, daß <y,z> eine Linearkombination zu X sein
> kann und somit die Menge <x,z>=<x,y,z> ist. Aber weiter
> weiß ich leider nicht... Hat jemand von Euch eine Idee?
Du meinst also, (b) sei richtig?
Das denke ich nicht. Die erste Aussage ist richtig:
ad (a):
Angenommen, <x,y,z>=<y,z>.
Da in der linken Menge auf jeden Fall der Vektor x enthalten ist, müßte er sich auf der rechten Seite auch als Linearkombination von y,z schreiben lassen. Das ist dann aber natürlich ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit.
Man könnte auch so argumentieren: Da x,y,z linear unabhängig sind, läßt sich x nicht als Linearkombination aus y,z darstellen. Deswegen ist $x [mm] \not\in [/mm] <y,z>$, und somit
[mm] $\not=$.
[/mm]
ad (b):
Ein Gegenbeispiel läßt sich leicht mit y=z angeben, z.B. x=(1,0) und y=z=(0,1)
Viele Grüße,
Marc
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