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Übungsaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Fr 04.12.2009
Autor: oli_k

Hallo,

komme mit dem Thema eigentlich gut klar, doch mit den Laufvariablen als Exponent habe ich noch meine Probleme.

Es geht um die Summe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k}{k+1})^{k^2}. [/mm] Habe auch testweise mal [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k}{k+1})^{k} [/mm] probiert und bin zu keinem Ergebnis gekommen.

Ich denke, es ist die gleiche Überlegung anzustellen, die beweist, dass die Folge [mm] (1+1/n)^n [/mm] monoton wachsend ist - aber die Überlegung fällt mir gerade einfach nicht ein!

Zur Veranschaulichung habe ich aus dem Reihenglied mal [mm] (1-\bruch{1}{k+1})^{k^2} [/mm] gemacht. Nun versagt Quotientenkriterium ebenso wie Wurzelkriterium - Grenzwerte gehen jeweils gegen 1.

Ich vermute auf Konvergenz, finde aber keine Abschätzung... wie schätzt man eigentlich Differenzen mit 1- ab?

Danke!

        
Bezug
Übungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:21 Sa 05.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Oliver,

> Hallo,
>  
> komme mit dem Thema eigentlich gut klar, doch mit den
> Laufvariablen als Exponent habe ich noch meine Probleme.
>  
> Es geht um die Summe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k}{k+1})^{k^2}.[/mm] Habe auch
> testweise mal [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm]
> probiert und bin zu keinem Ergebnis gekommen.

Wieso das nicht?

Es ist doch [mm] $\left(\left(\frac{k}{k+1}\right)^k\right)_{k\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge, daher ist das Trivialkriterium verletzt und [mm] $\sum\left(\frac{k}{k+1}\right)^k$ [/mm] ist divergent

>  
> Ich denke, es ist die gleiche Überlegung anzustellen, die
> beweist, dass die Folge [mm](1+1/n)^n[/mm] monoton wachsend ist -
> aber die Überlegung fällt mir gerade einfach nicht ein!
>  
> Zur Veranschaulichung habe ich aus dem Reihenglied mal
> [mm](1-\bruch{1}{k+1})^{k^2}[/mm] gemacht. Nun versagt
> Quotientenkriterium ebenso wie Wurzelkriterium - Grenzwerte
> gehen jeweils gegen 1.

Das stimmt doch nicht [kopfkratz3]

Die Reihe lautet [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}$ [/mm]

Gem. WK ist zu berechnen [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}\right|}=\limsup\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\limsup\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k+1-1}{k+1}\right)^k=\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{-1}{k+1}\right)^k=e^{-1}<1$ [/mm]

Damit ist die Reihe absolut konvergent ...


>
> Ich vermute auf Konvergenz, finde aber keine
> Abschätzung... wie schätzt man eigentlich Differenzen mit
> 1- ab?
>  
> Danke!

Gruß

schachuzipus

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Bezug
Übungsaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:29 Sa 05.12.2009
Autor: oli_k

Exakt nach dieser Abschätzung (->1/e) hatte ich gesucht - ich bin davon ausgegangen, dass [mm] (1-1/(k+1))^k [/mm] gegen 1 gehen würde, wusste aber, dass es falsch ist und es da irgendeine Abschätzung gab.

Kannst du vielleicht noch kurz darlegen, warum [mm] (\bruch{k}{k+1})^{k} [/mm] keine Nullfolge ist, [mm] (\bruch{k}{k+1})^{k^2} [/mm] allerdings wohl?

Warum ist die Folge [mm] (1+\bruch{1}{k})^{k} [/mm] monoton steigend bzw. wie kann ich es beweisen? Grenzwert ist e oder? Bei [mm] (1+\bruch{a}{k})^{k} [/mm] wäre es dann [mm] e^a [/mm] oder wie?

Wenn ich das mit den Potenzen nun nämlich auch noch drin habe, bin ich schon sehr froh für die Klausur nächste Woche :)

Danke!

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Bezug
Übungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:00 Sa 05.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Exakt nach dieser Abschätzung (->1/e) hatte ich gesucht -
> ich bin davon ausgegangen, dass [mm](1-1/(k+1))^k[/mm] gegen 1 gehen
> würde, wusste aber, dass es falsch ist und es da
> irgendeine Abschätzung gab.
>  
> Kannst du vielleicht noch kurz darlegen, warum
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm] keine Nullfolge ist,

Du kannst das schreiben als [mm] $\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k=\frac{\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}}{1-\frac{1}{k+1}}$ [/mm]

Und das strebt - nach dem, was du unten richtig schreibst mit $n:=k+1$ gegen [mm] $\frac{e^{-1}}{1}=\frac{1}{e} [/mm] \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ [mm] k\to\infty [/mm] \ \ [mm] \text{bzw.} [/mm] \ [mm] n\to\infty$ [/mm]

> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k^2}[/mm] allerdings wohl?

kann ich gerade nicht ...

>  
> Warum ist die Folge [mm](1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] monoton steigend
> bzw. wie kann ich es beweisen?

Nun, zeige wie üblich [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k}>1$ [/mm]

Benutze dabei die Bernoulli-Ungleichung

Beweise dazu stehen hier zu Hauf im Forum - suche danach ...

Oder besser: probier's selber, es ist nicht allzu schwierig ...

> Grenzwert ist e oder? [ok]

> Bei  [mm](1+\bruch{a}{k})^{k}[/mm] wäre es dann [mm]e^a[/mm] oder wie? [ok]

Ganz recht! Siehe auch weiter oben

>  
> Wenn ich das mit den Potenzen nun nämlich auch noch drin
> habe, bin ich schon sehr froh für die Klausur nächste
> Woche :)

Ich drücke die Daumen ...

>  
> Danke!

Gruß und [gutenacht]

schachuzipus

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Übungsaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:07 Sa 05.12.2009
Autor: oli_k

Vielen Dank!

Nun sollte ich alles hinbekommen, bei Problemen melde ich mich nochmal :-)

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Übungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 Sa 05.12.2009
Autor: reverend

Hallo Oli,

> Kannst du vielleicht noch kurz darlegen, warum
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm] keine Nullfolge ist,
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k^2}[/mm] allerdings wohl?

Da [mm] \limes_{k\to\infty}\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k =e^{-1} [/mm] ist,

ist [mm] \limes_{k\to\infty}\left(\bruch{k}{k+1}\right)^{k^2}=\limes_{k\to\infty}\left(\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k\right)^k=\limes_{k\to\infty}\left(\limes_{k\to\infty}\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k\right)^k=\limes_{k\to\infty}\left(e^{-1}\right)^k=?? [/mm]

Ganz sauber ist das nicht, wie Du wahrscheinlich weißt, aber im Prinzip funktioniert die saubere Bestimmung genauso, wenn Du wieder herausgefunden hast, wie man den ersten Grenzwert bestimmt.

lg
reverend

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Übungsaufgabe: Korrekturlesen bitte :)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Sa 05.12.2009
Autor: oli_k

Gut, dankeschön!

Ist das ok, wenn ich nach und nach einige Rechnungen von mir zur Korrektur einstelle?

Hier war ich mir unsicher:
Für welche x ist [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{k^{kx}}{k!}x^k [/mm] konvergent, für welche divergent?

Mit Quotientenkriterium erhalte ich [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|x*(k+1)^{x-1}*\{(1+\bruch{1}{k})^k\}^x| [/mm] = [mm] |x|e^{x}*\limes_{k\rightarrow\infty}(k+1)^{x-1} [/mm] = [mm] \begin{cases} \infty, & \mbox{für } x>1 \\ e, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{für } x<1 \end{cases} [/mm]

Somit Divergenz für [mm] x\ge{1} [/mm] und Konvergenz für [mm]x<1[/mm], da für diese jeweils der Quotient gegen kleiner bzw. größer 1 strebt.

Das Ergebnis ist korrekt - aber ist auch der Weg dorthin "lückenlos"?

Wie würde es mit Wurzelkriterium gehen? Bin an der Abschätzung von [mm] \wurzel[k]{k!} [/mm] jeweils nach unten und oben gescheitert...

Danke!


Bezug
                                        
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Übungsaufgabe: Stirling-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 So 06.12.2009
Autor: Loddar

Hallo Oli!


> Wie würde es mit Wurzelkriterium gehen? Bin an der
> Abschätzung von [mm]\wurzel[k]{k!}[/mm] jeweils nach unten und oben
> gescheitert...

Hierfür kann man z.B. die []Stirling-Formel verwenden.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
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Übungsaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 So 06.12.2009
Autor: oli_k

Na gut, die hatten wir leider noch nicht.

Was sagst du denn zu meiner Rechnung? Vielleicht sollte ich lieber ein neues Thema eröffnen, hier geht sie glaube ich unter.

Danke!

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Bezug
Übungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 So 06.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Oliver,

> Gut, dankeschön!
>  
> Ist das ok, wenn ich nach und nach einige Rechnungen von
> mir zur Korrektur einstelle?
>  
> Hier war ich mir unsicher:
>  Für welche x ist [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{k^{kx}}{k!}x^k[/mm]
> konvergent, für welche divergent?
>  
> Mit Quotientenkriterium erhalte ich
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|x*(k+1)^{x-1}*\{(1+\bruch{1}{k})^k\}^x|[/mm]
> = [mm]|x|e^{x}*\limes_{k\rightarrow\infty}(k+1)^{x-1}[/mm] =
> [mm]\begin{cases} \infty, & \mbox{für } x>1 \\ e, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{für } x<1 \end{cases}[/mm]

[daumenhoch]

Das sieht richtig aus, ich habe dasselbe heraus!

>  
> Somit Divergenz für [mm]x\ge{1}[/mm] und Konvergenz für [mm]x<1[/mm], da
> für diese jeweils der Quotient gegen kleiner bzw. größer
> 1 strebt.

So sehe ich das auch!

>  
> Das Ergebnis ist korrekt - aber ist auch der Weg dorthin
> "lückenlos"?
>  
> Wie würde es mit Wurzelkriterium gehen? Bin an der
> Abschätzung von [mm]\wurzel[k]{k!}[/mm] jeweils nach unten und oben
> gescheitert...

Schaue mal in dieses []Skript - ist öffentlich zugänglich ohne Passwortabfrage o.ä.

Dort ist unter 8.2.1 Exponentialreihe ein Beweis für [mm] $\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}\longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$, [/mm] also [mm] $\sqrt[n]{n!}\longrightarrow \infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm]



>  
> Danke!
>  

LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Übungsaufgabe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:04 So 06.12.2009
Autor: oli_k

Hi,

vielen Dank, das freut mich ja :)

Nun zum Wurzelkriterium. Mit einer Abschätzung gegen Unendlich werden wir hier glaube ich nicht weit kommen.

Es geht ja um [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{xk^x}{\wurzel[k]{k!}}=x*\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^x}{\wurzel[k]{k!}} [/mm]

Wenn wir nun erstmal x=1 setzen, erhalten wir [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{\wurzel[k]{k!}}\ge \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{\wurzel[k]{k^k}}=1 [/mm] und somit Divergenz für x=1.

Für x>1 schätzen wir gegen die divergente x=1-Reihe ab und erhalten so erneut Divergenz.

Jetzt gilt es aber noch zu zeigen, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^x}{\wurzel[k]{k!}}<1 [/mm] für x<1. Allerdings kann ich hier genauso argumentieren wie bei x=1 und würde auf Divergenz kommen.

Wo liegt hier das Problem?

Danke!

Edit:
Habe mal plotten lassen und festgestellt, dass je näher das x an 1 ist, desto später der Wert beim Wurzelkriterium erst kleiner als 1 ist. Irgendwann erreicht er aber den Punkt, ab dem alle Werte kleiner als 1 sind. Wie soll ich das nun nachweisen? Bin schon bis kleiner gleich [mm] k^{x-1/k} [/mm] gekommen, aber selbst das ist ja noch divergent, also hilft es mir nicht...




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Übungsaufgabe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 08.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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