www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Grenzwerte" - supr, inf, schranke von folge
supr, inf, schranke von folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

supr, inf, schranke von folge: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Di 07.12.2010
Autor: susanne3

Aufgabe
[mm] a_n= [/mm] 2/n +1

hallo,

bei dieser folge soll ich eine schranke und falls möglich ein supremum und infinum finden.

leider verstehe ich nicht so ganz wie das geht.

ich weiß das man das mit werten ausprobieren soll in dem man zahlen für das n einsetzt.
wenn ich jetzt zb 1 einsetze für n bekomme ich ja zb 3 als ergebnis und je größer die werte sind die ich einsetze desto kleiner wird das ergebnis aber was sagt mir das jetzt?
egal welche zahl ich einsetze das ergebnis wird ja nie höher als 1, also es wird nie 2 oder so.
und egal welche minus zahl ich einsetze es erreicht da nie die 1 wenn ich eine minus zahl einsetze..aber wie komme ich durch diese erkentnis auf die schranken??

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Di 07.12.2010
Autor: abakus


> [mm]a_n=[/mm] 2/n +1
>  hallo,
>  
> bei dieser folge soll ich eine schranke und falls möglich
> ein supremum und infinum finden.
>  
> leider verstehe ich nicht so ganz wie das geht.
>  
> ich weiß das man das mit werten ausprobieren soll in dem
> man zahlen für das n einsetzt.
>  wenn ich jetzt zb 1 einsetze für n bekomme ich ja zb 3
> als ergebnis und je größer die werte sind die ich
> einsetze desto kleiner wird das ergebnis aber was sagt mir
> das jetzt?
>  egal welche zahl ich einsetze das ergebnis wird ja nie
> höher als 1, also es wird nie 2 oder so.

Falsch. Wenn du für n eine 2 einsetzt, wird das Ergebnis genau 2.

>  und egal welche minus zahl ich einsetze es erreicht da nie

Hallo, bei Zahlenfolgen werden für n nur natürliche Zahlen (keine "Minuszahlen" ) eingesetzt.

> die 1 wenn ich eine minus zahl einsetze..aber wie komme ich
> durch diese erkentnis auf die schranken??
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Bezug
                
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Do 13.01.2011
Autor: SolRakt

Hallo. Ich habe aus Zufall dieses Thema gelesen und das scheint ja auch etwas länger her zu sein xD Ich möchts auch mal versuchen ;)

Also. Menge: $ M = [mm] {\bruch{2/n}+1 | n \in \IN}$ [/mm] Darf man das so aufschreiben?

Also, ich konzentriere mich erstmal aufs Infimum und kontrolliere dann, ob es auch das Minimum ist.

Fürs Infimum, etwa I,  gelten zwei Bedingungen:

(1) I ist untere Schranke von M

(2) Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt: I + [mm] \varepsilon [/mm] > n

Fast analog das Supremum ;)

So richtig?

Wie man jetzt alles formal aufschreibt, weiß ich aber auch nicht genau?

Hmm..so?

Ich probier erstmal ein paar Werte aus.

Also:

n=1 Dann kommt 3 raus.

n=2 Dann kommt 2 raus.

Vermutung: 3 ist Supremum

Kann man das so beweisen, dass man einfach sagt, dass sie obere Schranke von [mm] \bruch{2}{n} [/mm] 2 ist und deswegen (wegen  +1) insgesamt 3 sein muss. Aber wie zeigt man den Teil für [mm] \bruch{2}{n}? [/mm]







Bezug
                        
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Do 13.01.2011
Autor: fred97


> Hallo. Ich habe aus Zufall dieses Thema gelesen und das
> scheint ja auch etwas länger her zu sein xD Ich möchts
> auch mal versuchen ;)
>  
> Also. Menge: [mm]M = {\bruch{2/n}+1 | n \in \IN}[/mm]

Ich habs mal lesbar gemacht: [mm]M = \{\bruch{2}{n}+1 | n \in \IN\}[/mm]

>  Darf man das
> so aufschreiben?

Ja


>  
> Also, ich konzentriere mich erstmal aufs Infimum und
> kontrolliere dann, ob es auch das Minimum ist.
>
> Fürs Infimum, etwa I,  gelten zwei Bedingungen:
>  
> (1) I ist untere Schranke von M
>  
> (2) Für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gilt: I + [mm]\varepsilon[/mm] > n


Das ist doch Unfug !

Richtig:zu jedem  [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt  es  ein m [mm] \in [/mm] M mit: I + [mm]\varepsilon[/mm] > m

>
> Fast analog das Supremum ;)

Dann formuliere das mal !

>  
> So richtig?

Siehe oben

>  
> Wie man jetzt alles formal aufschreibt, weiß ich aber auch
> nicht genau?
>  
> Hmm..so?
>  
> Ich probier erstmal ein paar Werte aus.
>  
> Also:
>
> n=1 Dann kommt 3 raus.
>
> n=2 Dann kommt 2 raus.
>  
> Vermutung: 3 ist Supremum
>  
> Kann man das so beweisen, dass man einfach sagt, dass sie
> obere Schranke von [mm]\bruch{2}{n}[/mm] 2 ist und deswegen (wegen  
> +1) insgesamt 3 sein muss. Aber wie zeigt man den Teil für
> [mm]\bruch{2}{n}?[/mm]
>  
>
>
>

Für n [mm] \in \IN [/mm] ist n [mm] \ge [/mm] 1, also 1/n [mm] \le [/mm] 1 und damit 2/n+1 [mm] \le [/mm] 3.

Fazit: m [mm] \le [/mm] 3 für jedes m [mm] \in [/mm] M.

Da 3 [mm] \in [/mm] M ist, folgt: sup M = max M = 3


FRED

>
>  


Bezug
                                
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Do 13.01.2011
Autor: SolRakt


> Das ist doch Unfug !

> Richtig:zu jedem  $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 gibt  es  ein m $ [mm] \in [/mm] $ M mit: I + $
> [mm] \varepsilon [/mm] $ > m

Danke für den Hinweis.

Das Supremum, etwa S, ist wie folgt definiert:

(1) S ist obere Schranke von M.

(2) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 gilt: [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M mit S - [mm] \varepsilon [/mm] < m

So?

Gut, den Beweis des Supremums hab ich jetzt verstanden und das mit dem Maximum ist mir nun auch klar. ;) Danke.

Aber wie sieht das jetzt mit dem Infimum aus?

Vermutung: I = 1

Also: 1 ist untere Schranke von M, da [mm] \bruch{2}{n} [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 1

zz. ist nun noch Bedingung 2.

Kann man das über einen Widerspruchsbeweis machen? Also so?

Also 1 + [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{2}{n} [/mm] +1 mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0

Dann gilt: [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{2}{n} [/mm]

Ist der Ansatz schonmal ok?



Bezug
                                        
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Fr 14.01.2011
Autor: Schadowmaster


> Vermutung: I = 1
>  
> Also: 1 ist untere Schranke von M, da [mm]\bruch{2}{n}[/mm] + 1 [mm]\ge[/mm]
> 1

soweit schonmal schön.

>  
> zz. ist nun noch Bedingung 2.
>  
> Kann man das über einen Widerspruchsbeweis machen? Also
> so?
>  
> Also 1 + [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\bruch{2}{n}[/mm] +1 mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0
>  
> Dann gilt: [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\bruch{2}{n}[/mm]
>  
> Ist der Ansatz schonmal ok?
>  

Der Ansatz würde dich zu einem richtigen Ergebnis führen, er ist aber nicht vollständig formal formuliert (was ordentlich Haue geben könnte.^^)
Du musst noch an einigen Stellen sagen "für alle Epsilon", "für alle n", "..."
Dann musst du das ganze noch auf einen tatsächlichen Widerspruch führen...
Also es geht durchaus so, du musst halt nur höllisch vorsichtig sein wie du das formal richtig aufschreibst.

Bezug
                                                
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Fr 14.01.2011
Autor: SolRakt

Danke erstmal.

Ich versuchs nochmal. Also, Widerspruchsbeweis:

Angenommen, I wäre nicht Infimum. Dann:

[mm] \forall \varepsilon \in \IR_{+} [/mm] und [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt:

1 + [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{2}{n} [/mm] + 1

[mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{2}{n} [/mm]

[mm] \varepsilon \* [/mm] n < 2

Jedoch gibt es nach dem Archimedischen Prinzip ein n [mm] \in \IN, [/mm] sodass
[mm] \varepsilon \* [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2

Das ist der gwünschte Widerspruch. Folglich ist I das Infímum.

Geht das so?




Bezug
                                                        
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Fr 14.01.2011
Autor: Schadowmaster

du kannst nicht aus der Annahme, dass 1 nicht das Infimum ist, deine Aussage für alle Epsilon und alle n folgern...
Nimm dir Epsilon = 3, n = 1 und schon ist die Aussage:
3 +1 = 4 < 2 +1 = 3
falsch
Du müsstest sagen:
Für alle n ist [mm] $\frac{2}{n} [/mm] + 1 > 1 + [mm] \varepsilon$ [/mm]
Der Rest folgt dann wie du es geschrieben hast.
Aber damit es formal schön wird schreib dir nochmal die Aussage 2) komplett hin und verneine sie ganz nach den Vorschriften der logischen Verneinung (aus [mm] $\forall$ [/mm] wird [mm] $\exists$,...) [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Fr 14.01.2011
Autor: SolRakt

Du meinst folgendes (?):

[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: I + [mm] \varepsilon [/mm] > x

Logische Verneinung:

Dann sollte ich so mit dem Widerspr.-beweis anfangen (?):

[mm] \neg [/mm] ( [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: I + [mm] \varepsilon [/mm] > x )

[mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0: I + [mm] \varepsilon \le [/mm] x )

Meinst du das? Dann folgt natürlich der Rest.

Bezug
                                                                        
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Fr 14.01.2011
Autor: Schadowmaster

naja, fast
du musst noch das n reinbringen
also:

$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] I + $ [mm] \varepsilon [/mm]  > [mm] \frac{2}{n} [/mm] + 1$

Natürlich darfst du nicht vergessen vorher zu zeigen, dass dein I eine untere Schranke ist. ;)
An sonsten ist der Rest aber soweit richtig.

Bezug
                                                                                
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Sa 15.01.2011
Autor: SolRakt

Hmm..danke. Kann man das denn so einfach zeigen (?):

[mm] \bruch{2}{n} [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 1

[mm] \bruch{2}{n} \ge [/mm] 0 | * n,  n [mm] \ge [/mm] 1

2 [mm] \ge [/mm] 0

Naja und das ist erfüllt. Geht das so? Oder gibts da prinzipiell einen anderen und besseren Weg?



Bezug
                                                                                        
Bezug
supr, inf, schranke von folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Sa 15.01.2011
Autor: Schadowmaster

Auf diese Art kannst du zeigen, dass 1 eine untere Schranke ist.
Du zeigst ja, dass alle Folgeglieder [mm] $\ge$ [/mm] 1 sind, was genau die Bedingung für eine untere Schranke ist.
Und um das zu zeigen ist dieser Weg schon ganz gut, ja.
Für das Infimum (also die größte untere Schranke) musst du aber noch etwas mehr zeigen.
Du kannst dafür entweder das aus meinem vorherigen Post nehmen, oder, wenn dir das leichter fällt, du überlegst dir wieso die Aussage
"1 ist Infimum" äquivalent zur Aussage " [mm] $\lim [/mm] n [mm] \to \infty \frac{2}{n} [/mm] + 1 = 1$" ist.
Der Grenzwert dürfte leicht zu folgern sein; du müsstest halt nur hieb und stichfest darlegen warum die beiden Aussagen äquivalent sind (und vorher zeigen, dass 1 eine untere Schranke ist, sonst sind die nämlich eben nicht äquivalent^^).

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de