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Für eine stetige Funktion f: [mm] [a,b]\to\IR [/mm] seien m und M Minimum und Maximum
von f auf [a,b]. Zeigen Sie:
f([a,b]) = [m,M]
Ich verstehe leider nicht so richtig was ich hier machen soll :-(
Also wir haben für die funktion f([a,b]) schon zwei mögliche ergebnisse gegeben m und M und diese ergebnisse sollen auch noch das maximale bzw. minimale ergebnis im bildbereich der funktion seien.
wenn man jetzt den zwischenwertsatz anwendet, sagt dieser, dass auch alle werte zwischen m und M getroffen werden, also wird das ganze interval [m,M] getroffen und f([a,b]) = [m,M]
aber was muss ich da jetzt noch zeigen, damit das mathematisch korrekt ist?
mfg Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Do 04.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für eine stetige Funktion f: [mm][a,b]\to\IR[/mm] seien m und M
> Minimum und Maximum
> von f auf [a,b]. Zeigen Sie:
> f([a,b]) = [m,M]
>
> Ich verstehe leider nicht so richtig was ich hier machen
> soll :-(
> Also wir haben für die funktion f([a,b])
f([a,b]) ist keine Funktion, sondern
[mm] $f([a,b])=\{f(x):x \in [a,b]\}$
[/mm]
> schon zwei
> mögliche ergebnisse gegeben m und M und diese ergebnisse
> sollen auch noch das maximale bzw. minimale ergebnis im
> bildbereich der funktion seien.
>
> wenn man jetzt den zwischenwertsatz anwendet, sagt dieser,
> dass auch alle werte zwischen m und M getroffen werden,
> also wird das ganze interval [m,M] getroffen und f([a,b]) =
> [m,M]
>
> aber was muss ich da jetzt noch zeigen, damit das
> mathematisch korrekt ist?
Im Wesentlichen hast Du es schon. Ist [mm] y_0 \in [/mm] [m,M], so ex. nach dem Zwischenwertsatz ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] mit
[mm] f(x_0)=y_0.
[/mm]
Damit ist [mm] y_0 \in [/mm] f([a,b]).
Also [m,M] [mm] \subseteq [/mm] f([a,b])
Klar dürfte sein: [m,M] [mm] \supseteq [/mm] f([a,b])
FRED
> mfg Andreas
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ok, ich hab das jetzt nochmal als lösung formuliet. ist das so korrekt?
[mm] f([a,b])=\{f(x):x \in [a,b]\} [/mm]
wir kennen jetzt schon zwei Elemente aus f([a,b]) m, M die auch das größte y=f(x) und kleinste y=f(x) darstellen.
Ist [mm] y_0 \in [/mm] [m,M], so ex. nach dem Zwischenwertsatz ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] mit
[mm] f(x_0)=y_0.
[/mm]
Damit ist [mm] y_0 \in [/mm] f([a,b]).
Also [m,M] [mm] \subseteq [/mm] f([a,b])
Da m, M Minimum und Maximum von f([a,b]) sind, ist klar das
[m,M] [mm] \supseteq [/mm] f([a,b])
Also gilt f([a,b]) = [m,M] q.e.d.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 04.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok, ich hab das jetzt nochmal als lösung formuliet. ist
> das so korrekt?
>
> [mm]f([a,b])=\{f(x):x \in [a,b]\}[/mm]
>
> wir kennen jetzt schon zwei Elemente aus f([a,b]) m, M die
> auch das größte y=f(x) und kleinste y=f(x) darstellen.
>
> Ist [mm]y_0 \in[/mm] [m,M], so ex. nach dem Zwischenwertsatz ein
> [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] mit
> [mm]f(x_0)=y_0.[/mm]
>
> Damit ist [mm]y_0 \in[/mm] f([a,b]).
>
> Also [m,M] [mm]\subseteq[/mm] f([a,b])
>
> Da m, M Minimum und Maximum von f([a,b]) sind, ist klar
> das
>
> [m,M] [mm]\supseteq[/mm] f([a,b])
>
> Also gilt f([a,b]) = [m,M] q.e.d.
>
>
Alles bestens
FRED
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