seperabel, inseperabel < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Sa 20.10.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(1) [mm] $\ell_p$ [/mm] ist für [mm] $1\leq p<\infty$ [/mm] seperabel.
(2) [mm] $\ell_{\infty}$ [/mm] ist inseperabel. |
hallo, liebe mathefreunde!
ich habe mich zuerst mal am beweis für (2) versucht und wuesste gerne, ob der beweis korrekt ist.
zu (2):
betrachte die menge
[mm] $M_A=\left\{x=(x_i)\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}, A\subset\mathbb{N}:~\forall i\in A: x_i=1,\mbox{ ansonsten }x_i=0\right\}$
[/mm]
und dann [mm] $M:=\left\{M_A:A\subset\mathbb{N}\right\}$.
[/mm]
diese menge ist zunächstmal teilmenge von [mm] $\ell_{\infty}$, [/mm] da für [mm] $x\in [/mm] M$ gilt, dass [mm] $\lVert x\rVert_{\infty}=1\vee [/mm] 0$ und ist zudem überabzählbar, denn die kardinalität der potenzmenge der natürlichen zahlen ist größer als die kardinalität der natürlichen zahlen.
sei nun [mm] $N\subset\ell_{\infty}$ [/mm] dicht, das bedeutet [mm] $\forall x\in\ell_{\infty}~\exists y_x\in [/mm] N: [mm] \lVert x-y_x\rVert_{\infty}<\frac{1}{2}$
[/mm]
weil $M$ ja teilmenge von [mm] $\ell_{\infty}$ [/mm] ist, muss es auch für jedes [mm] $x\in [/mm] M$ ein [mm] $y_x\in [/mm] N$ geben, s.d. [mm] $\lVert x-y_x\rVert_{\infty}<\frac{1}{2}$.
[/mm]
seien nun [mm] $z,w\in [/mm] M$ mit [mm] $z\neq [/mm] w$, dann sind aber [mm] $y_z\neq y_w$, [/mm] denn wenn [mm] $z\neq [/mm] w$ gibt es (mindestens) ein [mm] $i\in\mathbb{N}: z_i\neq w_i$ [/mm] (also [mm] $z_i=1, w_i=0$ [/mm] oder eben umgekehrt).
dann unterscheiden sich aber auch die i-ten folgenglieder von [mm] $y_z$ [/mm] und [mm] $y_w$, [/mm] denn das eine i-te folgenglied muss betragsmäßig größer als 0.5 sein, das andere muss betragsmäßig kleiner als 0.5 sein (oder umgekehrt).
damit kann $N$ nicht abzählbar sein (N muss mindestens so viele Elemente wie M haben, also überabzählbar sein) und somit gibt es keine abzählbare dichte teilmenge von [mm] $\ell_{\infty}$, [/mm] also ist [mm] $\ell_{\infty}$ [/mm] inseperabel.
BEWEIS ende.
so okay?
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wie kann man (1) beweisen? mir fehlt eine idee.
danke
mikexx
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Hallo!
Zu 1)
Geb ein abzählbares Erzeugensystem an, betrachte den abzählbaren Aufspann (also [mm] \IQ [/mm] oder [mm] \IQ(i), [/mm] wenn [mm] \IK=\IC [/mm] )
Dann ist der Abschluss dieser Menge das ganze.
Zu 2): Die Idee ist richtig. Aber du machst schon bei der Definition von M was falsch. So wie du das schreibst, ist das keine Teilmenge von dem Ding, du meinst wohl eher [mm] M:=\{0,1\}^{\IN} [/mm] und dann kann man halt zeigen, dass irgendwelche Bälle um Elemente aus M disjunkt sind und dann folgern, dass jede dichte Menge nicht abzählbar ist.
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