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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Immer, wenn der Zähler eine Nullstelle hat, weißt du, dass es eine Nullstelle gibt :)
Eine Asymptote ist eine "Anschmieggerade"; wenn wie in deinem Bsp. y=4 die Asymptote ist, "läuft die Funktion gegen 4", erreicht diese jedoch nie.
Er gibt dann für das Einsetzen von hohen x-Werte y- Werte wie z.B. 4,001 und dergleich. Aber wichtig bei Asymptoten ist, dass der eigentliche Wert nie erreicht wird.
Eine Polstelle ist immer eine Definitionslücke im Graphen die nicht hebbar ist.
Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners; der Nenner darf nie 0 werden, da man mathematisch nicht durch 0 teilen darf.
Wenn es nun diese Nullstelle sowohl im Nenner, als auch im Zähler gibt, hebt sich diese Definitionslücke, wenn man sie überhaupt noch so nennen kann, auf; man könnte sie einfach wegkürzen.
Man spricht dann von einer hebbaren Definitionslücke, die nichts besonderes mehr an sich hat.
Falls sie nicht hebbar ist,ist es eine Polstelle.
Du kannst das Verhalten der Funktion in der Nähe der Polstelle durch einsetzen von minimal abweichenden Werten überprüfen.
Wenn du bei deiner Rechnung z.B. 1.0001 oder auch 0,9999 einsetzt, weißt du, ob sie nach [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] läuft.
Frage einfach noch konkret nach, wo was unklar ist.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 12.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Zu Deinen letzten drei Statements:
Die Zählerfunktion nach x auflösen =Nullstellen
Stimmt, falls es keine gemeinsamen Nullstellen von Zähler und Nenner gibt, die müsste man sonst zuerst wegkürzen (sowas kommt in den Aufagen aber selten vor)
Die Nennerfunktion nach x auflösen=senkrechte Asymptote
Stimmt, falls es keine gemeinsamen Nullstellen von Zähler und Nenner gibt, die müsste man sonst zuerst wegkürzen
Der Grenzwert der Funktion ist die waagerechte Asymptote?
Stimmt, falls der Grenzwert innerhelb der reellen Zahlen existiert.
In Deinem Beispiel sind Zähler und Nenner gekürzt, Du hast die Nullstelle der Funktion ( = Nullstelle des Zählers errechnet) und hast die Polstelle bei x = 4 . In x = 4 muss jetzt eine senkrechte Assymptote vorliegen, es ist nur noch zu klären, ob die Funktion links von x = 4 gegen [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] strebt. Dies bekommst Du z.B. in dem Du einen Wert in der Nähe von 4 z.B. 3,9 für x einsetzt. Ist der Funktionswert dort positiv, geht die Funktion gegen + [mm] \infty, [/mm] andernfalls gegen [mm] -\infty [/mm] (Der x-Wert, den Du einsetzt, muss so nahe an der Polstelle liegen, dass kein anderen Pol mehr dazuwischen ist).
Die waagrechte Asymptote bekommst Du, indem u die Grade des Zähler- und des Nennerpolynoms vergleichst. Die sind hier beide gleich 1, also gibt es eine waagrechte Assymptote, sie liegt genau y = Quotient aus den höchsten Koeffizienten des Zählers und des Nenners.
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Hallo,
> Also erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort.
> "Dies bekommst Du z.B. in dem Du einen Wert in der Nähe
> von 4 z.B. 3,9 für x einsetzt."
> Wo genau setze ich das ein? Kannst du die werte
> einsetzen?
Theoretisch müsstest du es in die Funktionsgleichung einsetzen. Allerdings ist das doch etwas "unkonventionell" würde ich sagen. Eigentlich führt man eine rechtsseitige und linksseitige Grenzwertbetrachtung durch um die Art der Polstelle zu spezifizieren. D.h. man nimm sich seine Polstelle und bestimmt den rechts- und linksseitigen Grenzwert.
Um es nochmal deutlich zu machen es geht hier um POLSTELLEN und um SENKRECHTE ASYMPTOTEN.
Für deine Funktion sähe es an der Polstelle x=1 so aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow1^{+}}f(x)
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow1^{-}}
[/mm]
Sind die beiden Grenzwerte unterschiedlich also: [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Sind sie gleich also [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] ist es eine Polstelle ohne VZW. Sind sie identisch also bsp. 1 und 1 ist es eine hebbare Definitionslücke.
> "Die waagrechte Asymptote bekommst Du, indem u die Grade
> des Zähler- und des Nennerpolynoms vergleichst. Die sind
> hier beide gleich 1, also gibt es eine waagrechte
> Assymptote, sie liegt genau y = Quotient aus den höchsten
> Koeffizienten des Zählers und des Nenners. "
>
> Das verstehe ich leider noch nicht, könntest du das genauer
> erklären und dich dabei auf die Werte beziehen?
Kurz gesagt musst du eine Polynomdivision Zähler durch Nenner durchführen.
Mithilfe des Zähler- und Nennergrades kannst du dir vorher überlegen, was es nun für eine Asymptote ist, dabei werden folgende Varianten unterschieden:
m=Zählergrad
n=Nennergrad
m>n --> schiefe Asymptote (bsp y=x)
m=n --> waggerechte Asymptote (bsp y=5)
m<n --> x-Achse ist Asymptote (also y=0)
> Vielen Dank nochmals für euer Engagement
Ich hoffe das hilft Dir weiter.
Liebe Grüße,
exeqter
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Hi
> Hm also wenn ich eine Polynomdivion durchführe kommt doch
> 4 + [mm]\bruch{4}{x-1}[/mm] raus...
Der ganzzahlige Anteil ist die, in diesem Fall, waagerechte Asymptote weil Zähler und Nennergrad gleich sind (mit Grad wird der höchste Exponent von "x" gemeint).
> Was sagt mir das?
s.o
> Und woher weiss ich ob ein VZW von +/- oder -/+
> stattfindet?
In dem du rechts- und linksseitigen Grenzwert der Polstellen bestimmt, das ist nicht die waagerechte Asymptote !! Bei der waagerechten Asymptote brauchst du keine Grenzwerte zu betrachten.
> Was meint man mit "Grad" höre den Begriff zum 1. mal...?
> Ansonsten alles verstanden
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Sa 12.01.2008 | | Autor: | abcdabcd2 |
asdfasdfasf
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