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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - relative Extrema
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relative Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 So 02.09.2018
Autor: Valkyrion

Für die Entscheidung welches relative Extrema bei einer Funktion mit zwei Variablen vorliegt untersucht man, ob [mm] f_{xx}(x_{0},y_{0}) [/mm] positiv oder negativ ist. Spielt dabei [mm] f_{yy}(x_{0},y_{0}) [/mm] keine Rolle? Warum? Oder kann man die Frage nach den relativen Extrema auch anhand von [mm] f_{yy}(x_{0},y_{0}) [/mm] entscheiden?

        
Bezug
relative Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 So 02.09.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Für die Entscheidung welches relative Extrema bei einer
> Funktion mit zwei Variablen vorliegt untersucht man, ob
> [mm]f_{xx}(x_{0},y_{0})[/mm] positiv oder negativ ist. Spielt dabei
> [mm]f_{yy}(x_{0},y_{0})[/mm] keine Rolle? Warum? Oder kann man die
> Frage nach den relativen Extrema auch anhand von
> [mm]f_{yy}(x_{0},y_{0})[/mm] entscheiden?



Hallo Valkyrion,

die Untersuchung mittels [mm] f_{xx} [/mm] allein genügt natürlich nicht.
Schau z.B. einmal []da nach !

LG , Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
relative Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 So 02.09.2018
Autor: Valkyrion

Hallo, erst mal Danke für die Antwort.

Dass ich erst mal untersuchen muss ob überhaupt ein stationärer Punkt und dann ein relatives Extremum vorliegt ist klar; geht mir jetzt nur um die Entscheidung welches relative Extremum.
Ich beziehe mich jetzt mal auf Seite 1 unten (g''(0)=) und das Beispiel auf Seite 3:

Heißt dass dann, dass ich die Frage nach der Art des Extremas sowohl über die Vorzeichenbetrachtung von [mm] f_{xx} [/mm] als auch von [mm] f_{yy} [/mm] entscheiden kann?

Hintergrund ist, dass das Vorzeichen von [mm] g''(x_{0}) [/mm] vom ausgeklammerten Faktor entschieden wird (solange [mm] f_{xx}f_{yy} [/mm] - [mm] f^{2}_{xy}>0, [/mm] was ja aber Vorraussetzung für ein relatives Extremum ist); wenn man [mm] f_{xx} [/mm] ausklammert, ist das [mm] f_{xx}, [/mm] wenn man [mm] f_{yy} [/mm] ausklammert, dann ist das eben [mm] f_{yy}? [/mm]



Bezug
                        
Bezug
relative Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 So 02.09.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo,

ich glaube, jetzt deine eigentliche Frage verstanden zu haben.
Du beziehst sich auf den Text:

Ist an einer Stelle $\ [mm] (x_0,y_0)$ [/mm]

$\ [mm] f_x(x_0,y_0)=0$ [/mm] und $\ [mm] f_y(x_0,y_0)=0$ [/mm]

und besteht außerdem die Ungleichung

$\ [mm] f_{xx} (x_0,y) f_{yy} [/mm] (x,y) - [mm] f_{xy}^2(x_0,y_0)>0$ [/mm]    (**)

so liegt an dieser Stelle ein Extremum vor, und zwar ein Maximum,
wenn $\ [mm] f_{xx}(x_0,y_0) [/mm] < 0$, und ein Minimum, wenn $\ [mm] f_{xx}(x_0,y_0) [/mm] > 0$ ist.


In diesem Text könnte man den letzten Teil auch durch folgenden
Halbsatz ersetzen:

  .... und zwar ein Maximum,
wenn $\ [mm] f_{yy}(x_0,y_0) [/mm] < 0$, und ein Minimum, wenn $\ [mm] f_{yy}(x_0,y_0) [/mm] > 0$ ist.


Grund:  wenn die Kriteriumsungleichung (**) erfüllt ist, so
sind [mm] f_{xx} [/mm] und  [mm] f_{yy} [/mm]  entweder beide positiv oder beide negativ.
Spielt dann also keine Rolle, ob man sich auf das Vorzeichen
von [mm] f_{xx} [/mm]  oder auf das von  [mm] f_{yy} [/mm]  bezieht.

LG ,  Al-Chw.




Bezug
                                
Bezug
relative Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 So 02.09.2018
Autor: Valkyrion

Ok, danke,
ja das war die Frage.
Ich hatte nä,lich überall immer nur gefunden, dass man [mm] f_{xx} [/mm] überprüfen soll und mich dann gefragt, ob [mm] f_{yy} [/mm] bei dieser Detailfrage keine Rolle spielt.

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