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Forum "Funktionalanalysis" - pktw. konv folgt glm.konv
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pktw. konv folgt glm.konv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 So 06.05.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum und [mm] (f_n)_n [/mm] eine monoton allende Folge stetiger Funktionen mit [mm] f_n [/mm] : X [mm] \to \IR, [/mm] sodass [mm] f_n \searrow [/mm] f punktweise auf X gegen eine stetige Funktion f : X [mm] \to \IR. [/mm] Zeige, dass [mm] (f_n)_n [/mm] in diesem Fall sogar gleichmäßig gegen f konvergiert.

Hallo ihr Lieben,

auch hier weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll. Hat da jemand einen tipp, Ansatz oder ähnliches für mich?

da [mm] f_n [/mm] pktweise konvergiert :
existiert für alle x [mm] \in [/mm] X und [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] sodass für alle [mm] n\gen_0 [/mm] gilt : [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]

zeigen wollen wir glm.konvergenz:
für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] n_0 \in \IN \forall n\ge n_0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X sodass: [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
Wir haben eine monoton fallende Fktfolge. also [mm] f_k(x)\ge f_{k+1}(x) [/mm]

wie könnte ich hier ansätzen?

Vielen Dank und Liebe grüße
Noya

        
Bezug
pktw. konv folgt glm.konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 So 06.05.2018
Autor: fred97


> Sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum und [mm](f_n)_n[/mm] eine
> monoton allende Folge stetiger Funktionen mit [mm]f_n[/mm] : X [mm]\to \IR,[/mm]
> sodass [mm]f_n \searrow[/mm] f punktweise auf X gegen eine stetige
> Funktion f : X [mm]\to \IR.[/mm] Zeige, dass [mm](f_n)_n[/mm] in diesem Fall
> sogar gleichmäßig gegen f konvergiert.
>  Hallo ihr Lieben,
>  
> auch hier weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll.
> Hat da jemand einen tipp, Ansatz oder ähnliches für mich?

Da ich obiges  als Übungsaufgabe für  zu  schwierig halte,  folgender Tipp

  obiges ist der Satz von Dini

Google und Du wirst  fündig.


>
> da [mm]f_n[/mm] pktweise konvergiert :
>  existiert für alle x [mm]\in[/mm] X und [mm]\epsilon[/mm] >0 ein [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> sodass für alle [mm]n\gen_0[/mm] gilt : [mm]|f_n(x)-f(x)|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>  
> zeigen wollen wir glm.konvergenz:
>  für alle [mm]\epsilon[/mm] >0 existiert ein [mm]n_0 \in \IN \forall n\ge n_0 \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] X sodass: [mm]|f_n(x)-f(x)|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>  Wir haben eine monoton fallende Fktfolge. also [mm]f_k(x)\ge f_{k+1}(x)[/mm]
>  
> wie könnte ich hier ansätzen?
>  
> Vielen Dank und Liebe grüße
>  Noya


Bezug
                
Bezug
pktw. konv folgt glm.konv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 So 06.05.2018
Autor: Noya

Vielen Dank für den Tipp mit dem Namen. Es gibt einige sehr einleuchtende Beweise.

Bezug
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