monotone und beschränkte folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (e_n) [/mm] mit
[mm] e_n:=(1+ \bruch{1}{n})^n
[/mm]
moton wachsend und beschränkt ist. |
Monoton wachsen heißt ja, dass [mm] a_n
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Ich muss diese Aufgabe auch lösen und hätte da einen Ansatz zur Monotonie, aber kann nicht sagen, ob das stimmt...
wenn [mm] e_{n} [/mm] monoton wachsend sein soll, dann gilt ja: [mm] e_{n} \le e_{n+1} [/mm] .
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le e_{n+1} [/mm] - [mm] e_{n}
[/mm]
also:
0 [mm] \le [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] - (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
man bildet nun die Differenz des n-ten und des n+1-ten Folgenglieds.
mich würde interessieren, ob dieser weg als beweis ausreichend ist (wenn er denn überhaupt richtig ist).
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Hallo blacksoul,
> Ich muss diese Aufgabe auch lösen und hätte da einen Ansatz
> zur Monotonie, aber kann nicht sagen, ob das stimmt...
>
> wenn [mm]e_{n}[/mm] monoton wachsend sein soll, dann gilt ja: [mm]e_{n} \le e_{n+1}[/mm]
Umgekehrt:
Falls [mm] $e_n\le e_{n+1} [/mm] \ [mm] \forall n\in\IN$, [/mm] dann heißt [mm] $(e_n)_{n\in\IN}$ [/mm] monoton wachsend
> .
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le e_{n+1}[/mm] - [mm]e_{n}[/mm]
>
> also:
>
> 0 [mm]\le[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] - (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> man bildet nun die Differenz des n-ten und des n+1-ten
> Folgenglieds.
>
> mich würde interessieren, ob dieser weg als beweis
> ausreichend ist (wenn er denn überhaupt richtig ist).
Die Folgerung muss genau andersherum sein, wenn du zeigen kannst, dass diese letzte Ungleichung gilt, dann ist die Folge monoton wachsend
Aber die Arbeit bleibt!
LG
schachuzipus
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Hallo Thomas,
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](e_n)[/mm] mit
>
> [mm]e_n:=(1+ \bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> moton wachsend und beschränkt ist.
> Monoton wachsen heißt ja, dass [mm]a_n Geht man
> hier nun so ähnlich wie bei der Induktion vor, um das zu
> zeigen? Man müsste ja mit dem binomischen Satz arbeiten, da
> fällt mir jetzt kein richtiger Ansatz zu ein.
Hmm, ich würde äquivalent zu [mm] $e_n
Setze damit mal an, im weiteren ist die Bernoulli'sche Ungleichung ganz nützlich ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:52 So 30.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Hm.
[mm] \bruch{e_{n+1}}{e_n} [/mm] > 1 | Einsetzen der Gleichungen
[mm] \bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}} [/mm] > 1
Wäre das sinnvoll?
Wenn ich nach Bernoulli gehe, so habe ich
[mm] \bruch{1 }{n+1})^{n+1} [/mm] > 2
und
[mm] \bruch{1 }{n})^{n} [/mm] > 2
da sich die n ja dann rauskürzen.
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> Hm.
>
> [mm]\bruch{e_{n+1}}{e_n}[/mm] > 1 | Einsetzen der Gleichungen
> [mm]\bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}}[/mm]
> > 1
> Wäre das sinnvoll?
Hallo,
ja, natürlich.
Aber Du mußt dann auch weiterrechnen.
[mm] \bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}}= [/mm] ...
>
> Wenn ich nach Bernoulli gehe, so habe ich
> [mm]\bruch{1 }{n+1})^{n+1}[/mm] > 2
> und
> [mm]\bruch{1 }{n})^{n}[/mm] > 2
>
> da sich die n ja dann rauskürzen.
Du meinst ja wohl: (1+[mm]\bruch{1 }{n+1})^{n+1}[/mm] > 2
> und
> [mm](1+\bruch{1 }{n})^{n}[/mm] > 2
Ich hoffe, daß Du nicht dies tun willst: Bernoulli oben und unten und dann rauskürzen...
Mal ein Beispiel dafür, wie verheerend das wäre: [mm] \bruch{5}{100} [/mm] soll abgeschätzt werden. 5>2 und 100>2 ==> [mm] \bruch{5}{100}>\bruch{2}{2}=1
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 30.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
So meinte ich das ja auch nicht mit dem Rauskürzen, ich dachte nur, dass das vielleicht irgendwie nützlich ist.
> Hallo,
>
> ja, natürlich.
>
> Aber Du mußt dann auch weiterrechnen.
>
> [mm]\bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}}=[/mm]
Wo soll man dort jetzt Bernoulli einsetzen?
> ...
>
[mm] \bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}}= \bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n} * (1 + \bruch{1 }{n+1}) }{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}} [/mm]
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Hallo Thomas,
> So meinte ich das ja auch nicht mit dem Rauskürzen, ich
> dachte nur, dass das vielleicht irgendwie nützlich ist.
>
> > Hallo,
> >
> > ja, natürlich.
> >
> > Aber Du mußt dann auch weiterrechnen.
> >
> > [mm]\bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}}=[/mm]
>
> Wo soll man dort jetzt Bernoulli einsetzen?
> > ...
> >
>
> [mm]\bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n+1}}{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}}= \bruch{(1 + \bruch{1 }{n+1})^{n} * (1 + \bruch{1 }{n+1}) }{(1 + \bruch{1 }{n})^{n}}[/mm]
>
Bringe doch zuerst mal diese Summen [mm] $1+\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $1+\frac{1}{n+1}$ [/mm] jeweils auf einen Bruchstrich, dann kann man besser damit hantieren
[mm] $\frac{e_{n+1}}{e_n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\frac{n+2}{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+2}{n+1}\cdot{}\frac{n}{n+1}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\frac{n+2}{n+1}\cdot{}\left(\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\frac{n+2}{n+1}\cdot{}\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\frac{n+2}{n+1}\cdot{}\left(\frac{n^2+2n\blue{+1-1}}{n^2+2n+1}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\frac{n+2}{n+1}\cdot{}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n$
[/mm]
Nun auf diese letzte Klammer die Bernoulli-Ungleichung anwenden, der Rest ist ein bissl Bruchrechnung und du hast am Ende $... >1$ dastehen
LG
schachuzipus
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