messb. Fkt auf sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M= [mm] \IR [/mm]
und N := { [a,b] [mm] \cap \IQ [/mm] : a [mm] \le [/mm] b in [mm] \IQ [/mm] }
a) Geben sie die von N erzeugte Sigma- ALgebra sigma(N) in [mm] \IR [/mm] an.
b) beschreiben sie möglichst einfach, welche Funktionen f: [mm] \IR \to [-\infty [/mm] , [mm] \infty [/mm] ] sigma(N) messbar sind. |
Huhu zusammen,
also nach Definition ist das
sigma(N) = [mm] \bigcap_{\mathcal{A} \in F(N)} \mathcal{A} [/mm]
mit F(N) = { [mm] \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\IR) [/mm] | N [mm] \subseteq \mathcal{A} [/mm] , [mm] \mathcal{A} [/mm] sigma-Algebra }
Ich weiß nicht so wirklich wie man die sigma-Algebra die von N erzeugt wird, angeben soll. Also man hat ja sozusagen kaputte Intervalle, die unvollständig sind, da nur die rationalen Zahlen drin sind.
Könnte sigma(N) (übrigens, gibt es hier das sigma Zeichen?) nicht einfach eine Art geordnete Anordnung/ Azählung von Elementen aus [mm] \IQ [/mm] sein?
Also
z.b.
sigma(N) = [mm] \bigcup [q_i [/mm] , [mm] q_{i+1}] [/mm] , q [mm] \in \IQ [/mm] , [mm] q_i \le q_{i+1}
[/mm]
soviel erstmal zur a :)
Lg,
Eve
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 09:12 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Herbart |
Ich kenne mich in dieser Hinsicht zwar nicht so gut aus, aber wie wärs mit [mm] \sigma(N)=\{P, \IR\setminus P: P\in\mathcal{P}(\IQ)\}?
[/mm]
Überleg dir dazu vielleicht erst, welche kleinsten Elemente du erhälst und welche Mengen du durch Vereinigungen erhälst. Danach das Komplement.
Das sigma erhälst du übrigens, wenn du, wie bei allen griechischen Buchstaben, ein Backslash vor das Wort setzt.
Zur anderen Aufgabe kann ich dir leider nichts sagen.
MfG Herbart
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:00 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich kenne mich in dieser Hinsicht zwar nicht so gut aus,
> aber wie wärs mit [mm]\sigma(N)=\{P, \IR\setminus P: P\in\mathcal{P}(\IQ)\}?[/mm]
Dann würde bei dir gelten [mm] $\sigma(N) [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\IQ)$. [/mm] Warum sollte das gelten?
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Herbart |
Wie gesagt habe ich leider kein tieferes Verständnis von der Materie, aber ich habe mir die Def. einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] und eines Erzeugers einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] durchgelesen und hatte mir gedacht, dass ja [mm] N\subseteq\mathcal{A} [/mm] sein muss und für den Fall a=b auch einelementige Mengen [mm] \{a\}\subseteq\mathcal{A}\forall a\in\IQ [/mm] sein müssen. Da auch jede abzählbare Vereinigung von Folgen [mm] (A_k)_{k\in\IN} [/mm] in einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] sein muss, erhalten wir doch jedes [mm] P\in \mathcal{P}(\IQ) [/mm] für unsere zu konstruierende [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Denn [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar und deshalb "kommen" wir mit abzählbaren Vereinigungen von einelementigen Teilmengen zu jedem [mm] P\in \mathcal{P}(\IQ). [/mm] Oder wo liegt mein Denkfehler?
Ferner muss nach Def. das Komplement für jedes [mm] P\in\mathcal{A} [/mm] auch [mm] $\IR\setminus P\in\mathcal{A}$ [/mm] sein. Und [mm] P\in\mathcal{P}(\IQ) [/mm] sowie [mm] $\IR\setminus [/mm] P$ mit [mm] P\in\mathcal{P}(\IQ) [/mm] sind bezüglich abzählbarer Vereinigungen abgeschlossen. Dadurch kommen wir zur behaupteten Menge [mm] \{P,\IR\setminus P:P\in\mathcal{P}(\IQ)\}. [/mm]
Nur zur Begründung, wie ich zur angeblichen "Lösung" gekommen bin.
Es tut mir Leid, wenn ich Verwirrung gestiftet habe. Ich werde mich noch mal genauer informieren.
MfG Herbart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Dadurch kommen wir zur behaupteten Menge [mm]\{P,\IR\setminus P:P\in\mathcal{P}(\IQ)\}.[/mm]
Mach dir nochmal klar, dass deine Beschriebene Menge gleichbedeutend ist mit [mm] $\mathcal{P}(\IQ)$.
[/mm]
Du könntest aber trotzdem recht haben und ich mit meiner Einschätzung etwas vorschnell gewesen sein. Verzeihung dafür.
edit: Nein, war ich doch nicht. Bspw ist $ [mm] \{\sqrt{2}\} \in \sigma(N) [/mm] $, allerdings nicht in $ [mm] \mathcal{P}(\IQ) [/mm] $
Schau dir mal noch einmal die Grundmenge M an!
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Herbart |
Tut mir leid, aber ich sehe noch immer nicht, warum z.B. die Menge [mm] \IR\setminus\IQ\in\{P,\IR\setminus P:P\in\mathcal{P}(\IQ)\} [/mm] auch [mm] \IR\setminus\IQ\in\mathcal{P}(\IQ) [/mm] erfüllen sollte, was für die Behauptung [mm] \{P,\IR\setminus P:P\in\mathcal{P}(\IQ)\}=\mathcal{P}(\IQ) [/mm] ja gelten sollte.
Zudem: Warum sollte [mm]\{\sqrt{2}\} \in \sigma(N) [/mm] oder jegliche andere irrationale Zahl, wie z.B. e, in [mm] \sigma(N) [/mm] sein?
Wenn ich eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] habe, ist ja auch der abzählbare Schnitt drin, nach dem was ich gelesen habe. Wenn dem so ist, dann gilt zwar
[mm] lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e, [/mm] aber [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}[(1+\frac{1}{n})^n,(1+\frac{1}{n})^n]\not=e, [/mm] sondern [mm] =\emptyset, [/mm] da [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}[(1+\frac{1}{n})^n,(1+\frac{1}{n})^n]=]e,e[=\emptyset.
[/mm]
Denn ein Element liegt in einer abzählbaren Vereinigung oder einem abzählbaren Schnitt, wenn es eine Menge aus der Vereinigung gibt, wo das Element bereits drin liegt. e liegt aber in keiner dieser Mengen aus der Vereinigung oder dem Schnitt, also liegt e auch nicht in der Vereinigung oder dem Schnitt und man kann keine einelementige Teilmenge von [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] mit abzählbaren Schnitten oder Vereinigungen bilden.
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Hiho,
auch wenn deine Sachen noch ein paar Notationsfehler aufweisen, scheinst du inhaltlich Recht zu haben (die Fehler können wir gerne per PN klären  )
Natürlich ist die Menge [mm] $\IR\setminus \IQ$ [/mm] in [mm] $\sigma(N)$ [/mm] enthalten, allerdings nicht jede Einpunktmenge der irrationalen Zahlen (insbesondere also auch nicht [mm] $\{\sqrt{2}\}$).
[/mm]
Da dachte ich wohl zu vorschnell das hinzubekommen.
Das wäre ja auch auf dem von mir vorgeschlagenen Weg der Spur-Sigma-Algebra der Fall gewesen, wieso ich mich über die Mitteilung von vorher schon ein wenig ärgere ^^
Vermutlich läuft es aufs Gleiche hinaus, dein Weg liefert dann allerdings die verständlichere Menge für die Nachfolgeaufgabe.
In diesem Sinne gebe ich mich dann mal geschlagen
Gruß,
Gono.
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Hiho,
schau dir mal an, wie man die Borel-Sigma-Algebra (die hattet ihr bestimmt schon) mit Hilfe eines abzählbaren Erzeugers konstruiert und dann schlage mal den Begriff "Spur-Sigma-Algebra" nach.
Dann kommst du genau auf die von dir definierte Sigma-Algebra.
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
>
> schau dir mal an, wie man die Borel-Sigma-Algebra (die
> hattet ihr bestimmt schon) mit Hilfe eines abzählbaren
> Erzeugers konstruiert und dann schlage mal den Begriff
> "Spur-Sigma-Algebra" nach.
> Dann kommst du genau auf die von dir definierte
> Sigma-Algebra.
>
> Gruß,
> Gono.
huhu ;)
Ja die Def. der Borel Sigma Algebra hatten wir, die können wir ja z.b. in dem Fall mit [mm] \sigma(E) [/mm] mit E := { [a,b] | [mm] a\le [/mm] b, a,b [mm] \in \IR [/mm] } erzeugen.
Definition der SPur-Sigma-Algebra die ich gefunden habe:
in meinem Fall:
Sei [mm] \IQ [/mm] eine Teilmenge von [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR [/mm] und [mm] \sigma(E) [/mm] eine sigma-Algebra über [mm] \IR [/mm] . Dann ist
[mm] \IQ \cap \sigma(E) [/mm] := { Q [mm] \cap [/mm] A | A [mm] \in \sigma(E) [/mm] }
sigma-Algebra über [mm] \IQ
[/mm]
Ist diese SPur-Sigma-Algebra dann gerade mein [mm] \sigma(N) [/mm] was ich gesucht habe?
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Hiho,
> Ja die Def. der Borel Sigma Algebra hatten wir, die können
> wir ja z.b. in dem Fall mit [mm]\sigma(E)[/mm] mit $E := [mm] \{ [a,b] | a\le b, a,b \in \IR \}$ [/mm] erzeugen.
Sogar mit $E := [mm] \{ [a,b] | a\le b, a,b \in \IQ \}$ [/mm] !
> Ist diese SPur-Sigma-Algebra dann gerade mein [mm]\sigma(N)[/mm] was ich gesucht habe?
Generell ja.
Allerdings hat Herbart im anderen Diskussionsstrang eine wohl bessere Darstellung gefunden, die für die nächste Teilaufgabe besser geeignet scheint 
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
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> > Ja die Def. der Borel Sigma Algebra hatten wir, die können
> > wir ja z.b. in dem Fall mit [mm]\sigma(E)[/mm] mit [mm]E := \{ [a,b] | a\le b, a,b \in \IR \}[/mm]
> erzeugen.
>
> Sogar mit [mm]E := \{ [a,b] | a\le b, a,b \in \IQ \}[/mm] !
>
>
> > Ist diese SPur-Sigma-Algebra dann gerade mein [mm]\sigma(N)[/mm] was
> ich gesucht habe?
>
> Generell ja.
> Allerdings hat Herbart im anderen Diskussionsstrang eine
> wohl bessere Darstellung gefunden, die für die nächste
> Teilaufgabe besser geeignet scheint
>
> Gruß,
> Gono.
Also zur b) hätte ich gesagt, dass es Funktionen sein müssten, bei der jeder Wert f(x) aus dem Wertebereich höchstens abzählbar oft vorkommt, könnte das hinkommen?
Geht hier immerhin um [mm] \IQ [/mm] ^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 14.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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