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Hallo ihr Lieben,
ich habe folgende Reihe vorliegen:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_{n}= q+1+q^3+q^2+q^5+q^4+q^7+...
[/mm]
1.ich soll nun beweisen, dass die Reihe konvergiert.
Mein Ansatz:
also eigentlich haben wir ja gelernt, dass die Anordnung der Partialsummenglieder NICHT egal ist. Aber da es hier ausschließlich positive Glieder sind und ich bis [mm] \infty [/mm] summiere kann ich dieses Gesetz vielleicht außer Kraft setzten. denn dann würde ich die Reihe [mm] a_{n} [/mm] mit der Reihe [mm] b_{n}=q^{k} [/mm] gleichsetzen. Und nun könnte ich ja mit der geometrischen Reihe die Konvergenz zeigen. Ist das möglich?
2. ich soll die Aussage lim inf [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] < 1 < lim sup [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
beweisen. Hier stehe ich leider völlig auf dem Schlauch. Was ist hier bloß zu tuen ? :-(
3. ich soll beweisen das lim sup [mm] (\wurzel{a_{n}} [/mm] < 1 ist. ich würde auch hier mit der geometrischen Summe arbeiten. ist dies möglich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo ihr Lieben,
> ich habe folgende Reihe vorliegen:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_{n}= q+1+q^3+q^2+q^5+q^4+q^7+...[/mm]
Hier sind Fehler drin bei den Indizes und bei den Summen!
Du meinst sicher:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}= q^0+q^1+q^2+\ldots
[/mm]
>
> 1.ich soll nun beweisen, dass die Reihe konvergiert.
> Mein Ansatz:
> also eigentlich haben wir ja gelernt, dass die Anordnung
> der Partialsummenglieder NICHT egal ist. Aber da es hier
> ausschließlich positive Glieder sind und ich bis [mm]\infty[/mm]
> summiere kann ich dieses Gesetz vielleicht außer Kraft
> setzten. denn dann würde ich die Reihe [mm]a_{n}[/mm] mit der Reihe
> [mm]b_{n}=q^{k}[/mm] gleichsetzen.
Es gilt:
[mm] q^0+q^1+q^2+\ldots=\summe_{n=0}^{\infty}q^n
[/mm]
Mit [mm] a_n:=q^n [/mm] erhältst du:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n=\summe_{n=0}^{\infty}q^n
[/mm]
Beachte: Die geometrische Reihe konvergiert nur für |q|<1!
Ich weiß aber nicht was du hier meinst, aber betrachten wir doch eine Reihe der Form [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] (a_n)_{a\in\IN} [/mm] und [mm] a_n\in\IR. [/mm]
Die Partialsummen der Reihe erhalten wir wie folgt:
[mm] S_1=a_1 [/mm]
[mm] S_2=a_1+a_2 [/mm]
[mm] \ldots [/mm]
[mm] S_N=a_1+\ldots+a_N=\summe_{n=1}^{N}a_n [/mm]
Die Partialsummenfolge der Reihe ist dann mit [mm] (s_N)_{N\in\IN} [/mm] gegeben.
Die Reihe konvergiert genau dann, wenn ihre Partialsummenfolge konvergiert. Dann schreiben wir:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n=a:=\limes_{N\rightarrow\infty}s_N=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n [/mm]
> Und nun könnte ich ja mit der
> geometrischen Reihe die Konvergenz zeigen. Ist das
> möglich?
Wenn das wirklich die Aufgabe ist, dann bist du fertig, aber ich bezweifel das.
Gruß
DieAcht
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also in der Aufgabenstellung steht zusätzlich, dass [mm] a_{1}= [/mm] q und [mm] a_{2}=0 [/mm] und [mm] a_{3}= q^3 [/mm] ...
also so wie ich die Summe angeordnet haben.. Darf man nun die Folgenglieder umsortieren?
und es ist auch 0<q<1 angegeben. also wäre diese Bedingung ja erfüllt..
LG 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> also in der Aufgabenstellung steht zusätzlich, dass [mm]a_{1}=[/mm]
> q und [mm]a_{2}=0[/mm] und [mm]a_{3}= q^3[/mm] ...
Okay, jetzt verstehe ich!
Antwort: Konvergente Reihen kann man unter Beibehaltung ihres Wertes genau dann beliebig umordnen, wenn sie absolut konvergent sind.
> also so wie ich die Summe angeordnet haben.. Darf man nun
> die Folgenglieder umsortieren?
> und es ist auch 0<q<1 angegeben. also wäre diese
> Bedingung ja erfüllt..
>
> LG
DieAcht
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Hallo,
> also in der Aufgabenstellung steht zusätzlich, dass [mm][mm] a_{1}=q [/mm] und [mm]a_{2}=0[/mm] und [mm]a_{3}=q^3[/mm] ...
Da müsste aber [mm] a_2=1 [/mm] sein, damit bei Umordnung wirklich eine geometrische Reihe rauskommt.
Im übrigen ist Umordnung gar nicht nötig. Das ist ein recht mächtiges Mittel, das an verschiedene Voraussetzungen geknüpft ist. Die sind hier zwar alle erfüllt, aber hast Du sie auch überprüft?
Betrachte [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^{n+(-1)^n}
[/mm]
Grüße
reverend
> also so wie ich die Summe angeordnet haben.. Darf man nun
> die Folgenglieder umsortieren?
> und es ist auch 0<q<1 angegeben. also wäre diese
> Bedingung ja erfüllt..
>
> LG
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die Reihe ist ja absolut konvergent, da auch ihr Betrag konvergiert. Also darf ich ja die Folgenglieder umordnen, oder?
also meinst du ich sollte die Reihe, anstatt sie umzuordnen, eher durch die von dir vorgeschlagene Reihe ersetzen?
Aber dann kann ich die geometrische Summenformel doch nicht mehr anwenden oder?
da ich jetzt nicht mehr [mm] q^{k} [/mm] sonder [mm] q^{k+(-1)^{n}} [/mm] habe..
LG
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Hallo,
> die Reihe ist ja absolut konvergent, da auch ihr Betrag
> konvergiert. Also darf ich ja die Folgenglieder umordnen,
> oder?
Stimmt.
> also meinst du ich sollte die Reihe, anstatt sie
> umzuordnen, eher durch die von dir vorgeschlagene Reihe
> ersetzen?
Das läuft letztlich auf das gleiche hinaus. Aber wenn Ihr Umordnungen noch nicht hattet, solltest Du sie lieber nicht verwenden.
> Aber dann kann ich die geometrische Summenformel doch
> nicht mehr anwenden oder?
> da ich jetzt nicht mehr [mm]q^{k}[/mm] sonder [mm]q^{k+(-1)^{n}}[/mm]
> habe..
Stimmt auffallend. Deswegen wäre hier der nächste Schritt, diese Reihe in zwei zu zerlegen (Bedingung: höchstens eine davon darf nicht konvergent sein), nämlich in die Glieder mit geradem n und die mit ungeradem. Da konvergieren dann beide.
Grüße
rev
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okay du hast recht.
Aber wie teile ich das auf?
meinst du so?
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^{k+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}q^{k-1} [/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^{k} [/mm] + q + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}q^{k} [/mm] - q
was machen ich jetzt mit den einzelnen q's? und stimmen die Indizes?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 So 05.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> okay du hast recht.
> Aber wie teile ich das auf?
> meinst du so?
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}q^{k+1}[/mm] + [mm]\sum_{k=1}^{\infty}q^{k-1}[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}[/mm] + q + [mm]\sum_{k=1}^{\infty}q^{k}[/mm]
> - q
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gilt:
[mm] q^{k+1}=q^k*q^1 [/mm] bzw. [mm] q^{k-1}=q^k*q^{-1}
[/mm]
Außerdem sollst du die Reihen derart zerlegen,
sodass du gerade und ungerade Glieder $n$ bekommst.
Du hattest übrigens einen Indexfehler davor, es muss heißen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^{n+(-1)^n}=\ldots
[/mm]
Gruß
DieAcht
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also gerade und ungerade Glieder bekomme ich ja durch
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}2(q^{k}) [/mm] + [mm] \sum_{n=0}^{\infty}2(q^{k})+1 [/mm]
aber das steht ja dann nicht mehr im Zusammenhang zu [mm] q^{k+(1)^{n}}?
[/mm]
leider habe ich keine andere Idee. Da allein durch die Veränderung des Exponentens die Glieder ja nicht gerade bzw. ungerade werden..
Liebe Grüße
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Hallo rosapanther,
da steckt ein Denkfehler drin.
Es ging darum, die folgende Reihe aufzuspalten:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^{n+(-1)^n}
[/mm]
Doof daran ist ja die Potenz von -1 im Exponenten. Bei geraden n ergibt sie +1, bei ungeraden -1.
Das heißt, dass man die Reihe in gerade n=2k und ungerade n=2k+1 zerlegen sollte, um die lästige Potenz von -1 loszuwerden. Also so:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^{n+(-1)^n}=\summe_{k=0}^{\infty}q^{2k+1}\;\;+\;\;\summe_{k=0}^{\infty}q^{2k+1-1}
[/mm]
Jetzt könnte man die beiden neuen Summen leicht so umformen, dass man sie wieder als geometrische Reihen berechnen kann, aber das ist eigentlich gar nicht nötig.
Hier wird nämlich deutlich, wie die Umordnung der Reihe funktioniert, ohne dass man irgendwelche weiteren Kriterien zu berücksichtigen hat.
Schaus Dir mal in Ruhe an.
Grüße
reverend
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okay dann nur noch eine Frage zu dieser Teilaufgabe. Wir haben ja die Summe so aufgeteilt um der umordnen der Summanden zu vermeiden. aber durch diese Umformung haben wir sie doch ebenfalls umgeordnet oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 So 05.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
richtig, alle bisherigen Vorschläge arbeiten in irgend einer Weise mit einer Umordnung der unendlichen Reihe.
Wenn du das vermeiden willst, dann musst du die endlichen Partialsummen [mm] s_0 [/mm] = q , [mm] s_1 [/mm] = q+1 , [mm] s_2 [/mm] = q + 1 + [mm] q^3 [/mm] , ... betrachten, bei denen man die Summanden selbstverständlich umordnen darf. Deshalb ergeben sich in Abhängigkeit von der Parität von n die Darstellungen [mm] s_n [/mm] = [mm] \begin{cases}\summe_{k=0}^{n}q^k , & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ \summe_{k=0}^{n+1}q^k - q^n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Beide Teilfolgen von [mm] (s_n) [/mm] haben für |q|<1 denselben Grenzwert [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] und dehalb konvergiert auch [mm] (s_n) [/mm] mit diesem Grenzwert.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Sa 04.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo rosapanther,
> 2. ich soll die Aussage lim inf [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] < 1
> < lim sup [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
>
> beweisen. Hier stehe ich leider völlig auf dem Schlauch.
> Was ist hier bloß zu tuen ? :-(
Geht es hier um die Folge, die in Aufgabe 1 summiert wird? Denn allgemein macht die Aussage keinen Sinn.
lg
rev
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ja es geht um dieselbe Reihe
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Sa 04.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> 3. ich soll beweisen das lim sup [mm](\wurzel{a_{n}}[/mm] < 1 ist.
Ist da nicht [mm] \limsup\wurzel[n]{a_n}<1 [/mm] gemeint?
Und natürlich auch wieder die Folge aus Aufgabe 1?
> ich würde auch hier mit der geometrischen Summe arbeiten.
> ist dies möglich?
Meines Erachtens nicht.
Grüße
rev
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ja du hast recht. Ich habe mich vertippt. Entschuldige bitte.
Genau, die Reihe aus Aufgabe 1. Aber wie setzte ich dann an. Ich überlege nun schon seit Stunden, finde aber keinen Ansatz..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Sa 04.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo ihr Lieben,
> ich habe folgende Reihe vorliegen:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_{n}= q+1+q^3+q^2+q^5+q^4+q^7+...[/mm]
>
Hallo,
es geht auch, indem man jeweils zwei aufeinander folgende Summanden zusammenfasst und dort q+1 ausklammert:
[mm](q+1)+(q^3+q^2)+(q^5+q^4)+(q^7+...=(q+1)*1+(q+1)*q^2+(q+1)*q^4+...=(q+1)*(1+q^2+q^4+...)[/mm]
Damit bist du wieder beim (q+1)-fachen einer geometrischen Reihe.
Gruß Abakus
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stimmt, du hast Recht..ändert dann der Vorfaktor (q+1) etwas ander der Konvergenz der Reihe?
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Moin,
> stimmt, du hast Recht..ändert dann der Vorfaktor (q+1)
> etwas ander der Konvergenz der Reihe?
Nein, den kannst Du einfach vor die Summe ziehen.
Grüße
reverend
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aber wann erhalte ich dann z.B. [mm] q^3 [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 08.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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dann zu Teilaufgabe 2:
die Reihe lautet also
[mm] \sum{k=0}^{\infty}(q+1)*q^{k}
[/mm]
nun soll ich beweisen, das lim [mm] inf|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] < 1< lim [mm] inf|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
also ja:
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|= \frac{(q+1)*q^{k+1}}{(q+1)*q^{k}} [/mm] = [mm] \frac{q^{k+1}}{q^{k}} [/mm]
Doch wie kann ich dann den limes superior bzw. limes inferior berechen und die Ungleichung beweisen?
Liebe Grüße
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kann jemand bitte diesen Fälligkeitszeitpunkt verschieben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mo 06.01.2014 | | Autor: | reverend |
> kann jemand bitte diesen Fälligkeitszeitpunkt verschieben?
Ja - auf wann ungefähr?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin rev,
> > kann jemand bitte diesen Fälligkeitszeitpunkt verschieben?
>
> Ja - auf wann ungefähr?
Ich hatte das schon erledigt, dann aber vergessen, per Mitteilung darauf hinzuweisen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 14.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Di 07.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Gegeben ist also die Reihe
$ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}= q+1+q^3+q^2+q^5+q^4+q^7+... [/mm] $.
Reverend hat das Entscheidende gesagt: es ist [mm] a_n=q^{n+(-1)^n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0.
Für q=0 sind die Aufgabenteile 1. und 3. klar. Für q=0 ist Aufgabenteil 2. sinnlos !
Im Folgenden sei stets 0<|q|<1.
Nun muß man nur rechnen:
Zu 1. Es ist
(1) [mm] a_{2n}=q^{2n+1} [/mm] und [mm] a_{2n+1}=q^{2n}.
[/mm]
Aus (1) folgt:
[mm] |a_n| \le |q|^n [/mm] für alle n.
Das zeigt die absolute Konvergenz von [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}.
[/mm]
Zu 2. Setzen wir
$ [mm] b_n:=| \bruch{a_{n+1}}{a_n}|$.
[/mm]
Rechne nach (mit (1)):
[mm] b_{2n}=\bruch{1}{|q|} [/mm] und [mm] b_{2n+1}=|q|^3
[/mm]
Damit ist
lim inf $ [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=|q|^3 [/mm] < 1 [mm] <\bruch{1}{|q|} [/mm] = $ lim sup [mm] $|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] $
Zu 3. Setze [mm] w_n:=\wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
Zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}w_{2n}=|q|=\limes_{n\rightarrow\infty}w_{2n+1}.
[/mm]
Damit ist [mm] (w_n) [/mm] konvergent und
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}w_n=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}=|q|<1$
[/mm]
FRED
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