www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - lineare Abbildung
lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lineare Abbildung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Do 16.12.2004
Autor: Nadja

Hallo

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe einen Ansatz oder Tipp geben.


Es sei [mm] A:R^2 [/mm] ---> [mm] R^2 [/mm] die lineare Abblidung mit <a href="http://www.ntsearch.com/search.php?q=Matrix&v=55">Matrix</a>
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] bezüglich der kanonischen Basis.

Gibt es eine Basis B des [mm] R^2, [/mm] so dass

[mm] [A]_B= \pmat{ \alpha & 0 \\ 0 & \beta } [/mm]

mit   [mm] \alpha, \beta \in [/mm] R?

Nadja

ich habe diese Aufgabe in keinen anderem Forum gestellt

        
Bezug
lineare Abbildung: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Fr 17.12.2004
Autor: Paulus

Liebe Nadja

ein Tipp: repetiere die Bedeutung der Kolonnen eine Matrix.

Und dann zeichne die Situation auf ein Blappier.

Für dein Beispiel heisst das nämlich: durch die Abbildung wird der x-Basisvektor (so heisst der bei mir immer, wenn ich ein Skizze mache) auf den negativen y-Basisvektor abgebildet, und der y-Basisvektor auf den x-Basisvektor.

Wenn das nicht eine Drehung um 270° ist! (oder 90° rechts herum)

Auch durch geometrische Ueberlegungen kommst du wohl zum Schluss, dass es keine Eigenvektoren geben kann, und somit die Suchen nach einer geeigneten Basis in alle Ewigkeit erfolglos andauern wird.

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
                
Bezug
lineare Abbildung: leider nicht mathematisch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:46 Fr 17.12.2004
Autor: Olek

Das klingt soweit recht verständlich, aber wie verfasst man so eine Überlegung in mathematische Worte? Und ich bin mir auch nicht so sicher, ob wir da geometrische Überlegungen machen sollen, da wir das in der Vorlesung so noch nicht hatten!?

Bezug
                        
Bezug
lineare Abbildung: Warum leider?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Fr 17.12.2004
Autor: Paulus

Liebe Nadja

mir wäre lieber, du würdest schreiben: gottseidank, nicht mathematisch! So richtig zum Anfassen! ;-)

Nein, im Ernst: man sollte sich zwischendurch schon mal ein Bild machen, um zu bergreifen, was man eigentlich mit den mathematischen Formeln so anstellt!

Eigentlich sollte dir nur mal klar werden, dass es bei dieser Abbildung keine Basis mit der gewünschten Eigenschaft gibt!

Wenn du meinen Tipp befolgt hast (hast du das?), dann hast du ja gesehen, dass die 1. Spalte gerade der Koordinatenvektor des Bildes des 1. Basisvektors ist und die 2. Spalte der Koordinatenvektor des Bildes des 2. Basisvektors ist. Bei mehr Dimensionden: etc..

Damit wird klar: gesucht ist zum Beispiel ein Vektor, welcher durch die Abbildung um den Faktor [mm] $\alpha$ [/mm] gestreckt wird. (Die erste Kolonne der gewünschten Matrix ist ja der um den Faktor [mm] $\alpha$ [/mm] gestreckte 1. Basisvektor, genauer: der Koordinatenvektor davon).

Suchen wir also einen solchen Vektor:

[mm] $A*x=\alpha*x$ [/mm]

Oder:

[mm] $A*x-\alpha*x=0$ [/mm]

Oder:

[mm] $(A-\alpha*E)x=0$ [/mm]

(E ist die Einheitsmatrix)

Weil x der erste Vektor einer Basis sein soll, kann er nicht der Nullvektor sein. Somit muss [mm] $(A-\alpha*E)$ [/mm] die Nullmatrix sein, oder ihre Determinante muss Null sein.

Berechnen wir doch einfach mal [mm] $(A-\alpha*E)$: [/mm]

[mm] $\pmat{0&1\\-1&0}-\pmat{\alpha&0\\0&\alpha}=\pmat{-\alpha&1\\-1&-\alpha}$ [/mm]

Diese Matrix ist offensichtlich nicht die Nullmatrix. Somit muss halt doch ihre Determinante Null sein. Dies führt auf folgende Gleichung:

[mm] $\alpha^2+1=0$ [/mm]

Diese Gleichung besitzt in [mm] \IR [/mm] keine Lösung, es lässt sich also kein Vektor (ungleich Nullvektor) mit der geforderten Eigenschaft finden.

Noch am Rande: hätte man einen solchen Vektor gefunden, dann hätte man gesagt, das sein ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\alpha$. [/mm]

So, kannst du jetzt etwas mehr anfangen? Mach aber die geometrischen Ueberlegungen trotzdem, auch wenn ihr sie hier nicht anwenden dürft!

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de