www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionalanalysis" - l_p - Räume
l_p - Räume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

l_p - Räume: Dimension
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Do 24.12.2015
Autor: Hias

Hallo,
ich bin auf über etwas gestolpert, was ich mir gerade nicht erklären kann.
Es geht um den Raum
[mm] $$l_p(\mathbb{N},K):=\{x \in K^\mathbb{N}: \|x\|_p=(\sum_{i=1}^\infty |x(i)|^p)^{\bruch{1}{p}}<\infty\}.$$ [/mm]
Dabei ist K entweder [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $1\leq [/mm] p [mm] <\infty$. [/mm]
Ich weiß, dass das ein Banachraum ist. Des Weiteren habe ich die Aussage gefunden, dass die algebraische Dimension eines Banach Raumes entweder endlich, oder überabzählbar ist.
Ich denke, dass die algebraische Basis von [mm] $l_p(\mathbb{N},K)$ [/mm] die Einheitsvektoren $$
[mm] e_1=(1,0,0,0,,,,), e_2=(0,1,0,0,0....),...$$ [/mm] sind.
[mm] $l_p(\mathbb{N},K)$ [/mm] sollte nicht endlich sein, also sollte die Dimension der [mm] $e_i$ [/mm] überabzählbar unendlich sein, jedoch sehe ich das momentan nicht. Kann mir das jemand erklären, oder habe ich einen Denkfehler?

Vielen Dank im Voraus und schöne Weihnachten,
Hias.

        
Bezug
l_p - Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Do 24.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie stellst du bezüglich deiner Basis den Vektor

[mm] $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...)$ [/mm]

Dar?
Bedenke: algebraische Basis bedeutet endliche Linearkombinationen.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
l_p - Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Fr 25.12.2015
Autor: Hias

Hallo und danke für deine Antwort.

Aber wie kann dann die algebraische Basis überabzählbar unendlich sein, wenn die algebraische Basis endlich ist?
Einen schönen Gruß,
Hias.

Bezug
                        
Bezug
l_p - Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Fr 25.12.2015
Autor: felixf

Moin Hias!

> Hallo und danke für deine Antwort.
>
> Aber wie kann dann die algebraische Basis überabzählbar
> unendlich sein, wenn die algebraische Basis endlich ist?

Weil es keine algebraische Basis ist. Du hast ein linear unabhängiges System angegeben, was jedoch kein Erzeugendensystem ist. Der Vektor, den Gono angegeben (bzw. angedeutet) hat, liegt z.B. nicht im Erzeugnis.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
l_p - Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Sa 26.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wer hat denn was davon gesagt, dass die Basis endlich sein soll? Aber die Anzahl an Basisvektoren, die du für eine Darstellung eines Vektors verwenden darfst, ist endlich. Und daher wirst du keine Darstellung finden um mit den von dir angegebenen Vektoren den von mir angedeuteten darstellen zu können. Ergo: Deine Vektoren bilden keine algebraische Basis.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
l_p - Räume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Mi 06.01.2016
Autor: Hias

Alles klar, vielen Dank für die Antworten.

Bezug
        
Bezug
l_p - Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:28 Do 07.01.2016
Autor: fred97

Sei X ein Banachraum und dim X = [mm] \infty. [/mm]

Behauptung: X besitzt keine abzählbar-unendliche algebraische Basis.

Beweis: Annahme [mm] \{b_1,b_2,b_3,...\} [/mm] ist eine abzählbar-unendliche algebraische Basis von X.

Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] X_n [/mm] die lineare Hülle von [mm] \{b_1,...,b_n\}. [/mm]

Dann ist [mm] X_n [/mm] ein endlichdimensionaler Unterraum von X, also abgeschlossen und es gilt

    [mm] X=\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n. [/mm]

Der Bairesche Kategoriensatz besagt nun: es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:

    [mm] X_m [/mm] enthält innere Punkte.

Nun überlege man sich, dass dann gilt: [mm] X=X_m. [/mm]

Damit haben wir den Widerspruch dim X= m < [mm] \infty. [/mm]

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de