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Forum "Fourier-Transformation" - komplexer uneig. Integral
komplexer uneig. Integral < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexer uneig. Integral: Fouriertransformation existenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Di 14.04.2009
Autor: masa-ru

Aufgabe
man löse das uneigentliche Integral für die Fälle:

1. [mm] \alpha [/mm] > 0
2. [mm] \alpha [/mm] < 0

[mm] $\integral_{-\infty}^{0}{ e^{-\alpha |t|}* e^{-j*2*\pi*\nu*t}dt}$ [/mm]

Fall 1 :  [mm] \alpha [/mm] > 0


[mm] $\integral_{-\infty}^{0}{ e^{-\alpha |t|}* e^{-j*2*\pi*\nu*t}dt}$ [/mm]

weil die Integration in diesem bereich stehts ein negatives t hat,
ist [mm] -\alpha [/mm] |t| = + [mm] \alpha [/mm] t

[mm] $\integral_{-\infty}^{0}{ e^{\alpha t}* e^{-j*2*\pi*\nu*t}dt}$ [/mm] = [mm] $\integral_{-\infty}^{0}{ e^{t( \alpha -j*2*\pi*\nu)}dt}$ [/mm] = [mm] $\vmat{\bruch{1}{\alpha -j*2*\pi * \nu}*e^{\alpha t}* e^{-j*2*\pi*\nu*t}}_{-\infty}^{0}$ [/mm]

aber hier komme ich nicht weiter da ich einen grenzübergang ins  [mm] -\infty [/mm] machen muss.

[mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}* e^{-j*2*\pi*\nu*t})$ [/mm]

ich vermutte das das hier :

[mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}* e^{-j*2*\pi*\nu*t})$ [/mm] = [mm] "0*\infty" [/mm] ergibt

kann mir einer hier helfen ?
danke für jeden Tipp.

        
Bezug
komplexer uneig. Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Di 14.04.2009
Autor: fred97

Für [mm] \alpha [/mm] > 0  und den Grenzwert



$ [mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}) [/mm] $


beachte, dass

               [mm] $|e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}| [/mm] = 1 $

ist !!  Dann folgt:

          $ [mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t})= [/mm] 0 $



FRED
FRED

Bezug
                
Bezug
komplexer uneig. Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Di 14.04.2009
Autor: masa-ru

hallo FRED,
danke für die schnelle Antwort!

>
> beachte, dass
>
> [mm]|e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}| = 1[/mm]
>  
> ist !!

wenn es so ist, ist die nachfolgende Folgerung richtig.

ich stehe gerade auf dem schlauch warum ist es 1 ?

wegen den Betrag? denn habe ich aber nicht in der Klammer ?
also das sollte nicht den Betrag darstellen sondern die Klammer (grenzwerte)

$ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{ e^{t( \alpha -j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu)}dt} [/mm] $ = [mm] $[\bruch{1}{\alpha -j\cdot{}2\cdot{}\pi \cdot{} \nu}\cdot{}e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}]_{-\infty}^{0} [/mm] $

?

LG
masa

Bezug
                        
Bezug
komplexer uneig. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Di 14.04.2009
Autor: masa-ru

Also wie FRED richtig sagte, der Betrag muss her.

Also damit bestimmt man die absolute Konvergenz dieser komplexen zahl.

"Eine Reihe [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_n [/mm]  komplexer Zahlen konvergiert zumindest dann, wenn sie absolut konvergiert, wenn also die Reihe der Absolutbeträge [mm] \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| [/mm]  konvergiert"
Quelle: WIKI


kann man das glauben ?
mfg
masa

Bezug
                                
Bezug
komplexer uneig. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:31 Di 14.04.2009
Autor: fred97


> Also wie FRED richtig sagte, der Betrag muss her.




>  
> Also damit bestimmt man die absolute Konvergenz dieser
> komplexen zahl.

Wovon sprichst Du ??


>  
> "Eine Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/mm]  komplexer Zahlen
> konvergiert zumindest dann, wenn sie absolut konvergiert,
> wenn also die Reihe der Absolutbeträge [mm]\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|[/mm]
>  konvergiert"
>  Quelle: WIKI
>  

Was soll das hier ??


>
> kann man das glauben ?

Ja, aus der absoluten Konvergenz einer Reihe folgt deren Konvergenz



FRED

>  mfg
>  masa


Bezug
                                        
Bezug
komplexer uneig. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Di 14.04.2009
Autor: masa-ru

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> > Also wie FRED richtig sagte, der Betrag muss her.
>  
>
>
>
> >  

> > Also damit bestimmt man die absolute Konvergenz dieser
> > komplexen zahl.
>  
> Wovon sprichst Du ??
>


$ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}) $ = $\underbrace{ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}} ) }_{0} * \underbrace{ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t})}_{1}$

also es  ging darum den Limes bei der Komplexen zahl zu bestimmen.

und in der Wiki ist dieses erklärt wie du bereits gesagt hast mit dem Betrag.
also wenn ich den Betrag dieser komplexer zahl habe ist dies auch der grenzwert?



LG
masa

Bezug
                                                
Bezug
komplexer uneig. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 Di 14.04.2009
Autor: fred97


> > > Also wie FRED richtig sagte, der Betrag muss her.
>  >  
> >
> >
> >
> > >  

> > > Also damit bestimmt man die absolute Konvergenz dieser
> > > komplexen zahl.
>  >  
> > Wovon sprichst Du ??
>  >

>
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t})[/mm]
> = [mm]\underbrace{ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}} ) }_{0} * \underbrace{ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t})}_{1}[/mm]
>  

Das ist Unsinn.

Der Grenzwert

[mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t} [/mm] $


existiert i.a. nicht !!

Hast Du meine Antwort

https://matheraum.de/read?i=536038

nicht gelesen ?


FRED

> also es  ging darum den Limes bei der Komplexen zahl zu
> bestimmen.
>  
> und in der Wiki ist dieses erklärt wie du bereits gesagt
> hast mit dem Betrag.
>  also wenn ich den Betrag dieser komplexer zahl habe ist
> dies auch der grenzwert?
>  
>
>
> LG
> masa


Bezug
                                                        
Bezug
komplexer uneig. Integral: falsch gepostet
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Di 14.04.2009
Autor: masa-ru

fred97 ich habe den Post gelsen, nur kann ich das mit dem Betrag nicht nachvollziehen.

siehe hier: https://matheraum.de/read?i=536050

Bezug
                        
Bezug
komplexer uneig. Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Di 14.04.2009
Autor: fred97


> hallo FRED,
> danke für die schnelle Antwort!
>  >

> > beachte, dass
> >
> > [mm]|e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}| = 1[/mm]
>  >  
> > ist !!
>  
> wenn es so ist, ist die nachfolgende Folgerung richtig.
>  
> ich stehe gerade auf dem schlauch warum ist es 1 ?
>  
> wegen den Betrag? denn habe ich aber nicht in der Klammer
> ?
>  also das sollte nicht den Betrag darstellen sondern die
> Klammer (grenzwerte)
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{ e^{t( \alpha -j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu)}dt}[/mm]
> = [mm][\bruch{1}{\alpha -j\cdot{}2\cdot{}\pi \cdot{} \nu}\cdot{}e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}]_{-\infty}^{0}[/mm]
>  
> ?
>  
> LG
>  masa




1. Für x [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] $e^{jx} [/mm] = cos(x) +j sin(x)$, daher ist  [mm] $|e^{jx}|$ [/mm] = 1

2. Du sollst

   [mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t} [/mm]

berechnen, wobei [mm] $\beta [/mm] = -2 [mm] \pi \nu$ [/mm]

Es ist

         [mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}|e^{\alpha t}e^{j \beta t}|= \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}|e^{j \beta t}|= \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t} [/mm] = 0$,


also auch

[mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t} [/mm] = 0

FRED

Bezug
                                
Bezug
komplexer uneig. Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Di 14.04.2009
Autor: masa-ru

hmm :-(
> 1. Für x [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]e^{jx} = cos(x) +j sin(x)[/mm], daher ist  
> [mm]|e^{jx}|[/mm] = 1
>  

das ist auch korrekt, "denn die länge des Zeigers ist hier 1" .
Aber wenn die komplexe zahl in den Betrag genomen wird, bzw wenn die länge bestimmt werden soll.


> 2. Du sollst
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t}[/mm]
>  
> berechnen, wobei [mm]\beta = -2 \pi \nu[/mm]
>  
> Es ist
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty}|e^{\alpha t}e^{j \beta t}|= \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}|e^{j \beta t}|= \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t} = 0[/mm],
>  
>
> also auch
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t}[/mm] = 0
>  
> FRED


ich kann nur nicht verstehen wo du immer den Betrag her holst ???

[mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t} [/mm] =>(?)  [mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}|e^{\alpha t}e^{j \beta t}|$ [/mm]

LG
masa

Bezug
                                        
Bezug
komplexer uneig. Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Di 14.04.2009
Autor: fred97

Allgemein gilt:


[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow x_0}|f(x)| [/mm] = 0


Hilft das ?


FRED

Bezug
                                                
Bezug
komplexer uneig. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Di 14.04.2009
Autor: masa-ru

fred97 danke dir !

LG
masa

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