kern einer lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Bin auf einen alten Beitrag gestossen: https://vorhilfe.de/forum/Kern_Bild_von_Polynomen/t117117
Nun wollte ich fragen, wie man genau den Kern direkt berechnet.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad höchstens drei.
[mm] G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2}
[/mm]
Berechne den kern.
So nun habe ich [mm] p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 [/mm] in G eingesetzt
Dann habe ich erhalten [mm] a_2x^2+2=0 \Rightarrow a_2=-2
[/mm]
Und nun, was ist den jetzt der Kern?
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Hallo,
> Bin auf einen alten Beitrag gestossen:
> https://vorhilfe.de/forum/Kern_Bild_von_Polynomen/t117117
>
> Nun wollte ich fragen, wie man genau den Kern direkt
> berechnet.
> Die Aufgabe lautet:
> Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad
> höchstens drei.
> [mm]G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2}[/mm]
> Berechne den kern.
>
> So nun habe ich [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] in G
> eingesetzt
> Dann habe ich erhalten [mm]a_2x^2+2=0 \Rightarrow a_2=-2[/mm]
> Und
> nun, was ist den jetzt der Kern?
Es gibt zwei Möglichkeiten, den zu ermitteln.
- Die "Standardvariante" wäre, die Darstellungsmatrix von $G(p)$ bzgl. einer Basis zu ermitteln, z.B. [mm] $1,x,x^2,x^3$. [/mm] Das ist hier nicht so schwer.
Dann kannst du den Kern bestimmen, indem du den Kern der Matrix bestimmst.
- Hier kann man es aber auch direkt sehen: Überlege dir, dass der Raum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3 ein vierdimensionaler Vektorraum ist. Zeige, dass das Bild der Abbildung $G$ Dimension 2 hat (siehst du an deiner Rechnung oben).
Nach der Dimensionsformel muss der Kern ebenfalls Dimension 2 haben.
Du musst also nur zwei linear unabhängige Elemente angeben, die auf Null abgebildet werden, und hast einen Erzeuger vom Kern.
An deiner Rechnung oben kannst du leicht zwei solche Elemente finden.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo
> Hallo,
>
>
> > Bin auf einen alten Beitrag gestossen:
> > https://vorhilfe.de/forum/Kern_Bild_von_Polynomen/t117117
> >
> > Nun wollte ich fragen, wie man genau den Kern direkt
> > berechnet.
> > Die Aufgabe lautet:
> > Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad
> > höchstens drei.
> > [mm]G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2}[/mm]
> > Berechne den kern.
> >
> > So nun habe ich [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] in G
> > eingesetzt
> > Dann habe ich erhalten [mm]a_2x^2+2=0 \Rightarrow a_2=-2[/mm]
> >
> Und
> > nun, was ist den jetzt der Kern?
>
>
> Es gibt zwei Möglichkeiten, den zu ermitteln.
>
> - Die "Standardvariante" wäre, die Darstellungsmatrix von
> [mm]G(p)[/mm] bzgl. einer Basis zu ermitteln, z.B. [mm]1,x,x^2,x^3[/mm]. Das
> ist hier nicht so schwer.
>
Ok. Versuche es mal:
G(1)=0
G(x)=0
[mm] G(x^2)=x
[/mm]
[mm] G(x^3)=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Stimmt das so? Dann muss ich doch [mm] Ax=(0,0,0,0)^t [/mm] berechnen, daraus folgt, dass [mm] x_3=0, [/mm] die anderen sind beliebig.
Und was ist jetzt mein kern?
> Dann kannst du den Kern bestimmen, indem du den Kern der
> Matrix bestimmst.
>
> - Hier kann man es aber auch direkt sehen: Überlege dir,
> dass der Raum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3
> ein vierdimensionaler Vektorraum ist. Zeige, dass das Bild
> der Abbildung [mm]G[/mm] Dimension 2 hat (siehst du an deiner
> Rechnung oben).
Wie sehe ich das an meiner Rechnung oben?
> Nach der Dimensionsformel muss der Kern ebenfalls
> Dimension 2 haben.
> Du musst also nur zwei linear unabhängige Elemente
> angeben, die auf Null abgebildet werden, und hast einen
> Erzeuger vom Kern.
> An deiner Rechnung oben kannst du leicht zwei solche
> Elemente finden.
Wie finde ich solche Elemente?
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Danke für deine Hilfe!
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Hallo,
> > > Bin auf einen alten Beitrag gestossen:
> > > https://vorhilfe.de/forum/Kern_Bild_von_Polynomen/t117117
> > >
> > > Nun wollte ich fragen, wie man genau den Kern direkt
> > > berechnet.
> > > Die Aufgabe lautet:
> > > Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad
> > > höchstens drei.
> > > [mm]G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2}[/mm]
> > > Berechne den kern.
> > >
> > > So nun habe ich [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] in G
> > > eingesetzt
> > > Dann habe ich erhalten [mm]a_2x^2+2=0 \Rightarrow a_2=-2[/mm]
>
> > >
> > Und
> > > nun, was ist den jetzt der Kern?
> >
> >
> > Es gibt zwei Möglichkeiten, den zu ermitteln.
> >
> > - Die "Standardvariante" wäre, die Darstellungsmatrix von
> > [mm]G(p)[/mm] bzgl. einer Basis zu ermitteln, z.B. [mm]1,x,x^2,x^3[/mm]. Das
> > ist hier nicht so schwer.
> >
> Ok. Versuche es mal:
> G(1)=0
> G(x)=0
> [mm]G(x^2)=x[/mm]
> [mm]G(x^3)=0[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nein. Du hast G(1) und [mm] G(x^2) [/mm] falsch berechnet. Es sollte $G(1) = 1$ und [mm] $G(x^2) [/mm] = [mm] x^2$ [/mm] sein.
Darstellungsmatrix also:
$A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
> Dann muss ich doch [mm]Ax=(0,0,0,0)^t[/mm] berechnen,
Ja.
> daraus folgt, dass [mm]x_3=0,[/mm] die anderen sind beliebig.
Das ist folgefalsch.
Es würde herauskommen, dass die Vektoren [mm] $\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$ [/mm] Erzeuger des Kerns sind.
> Und was ist jetzt mein kern?
Du hast den Kern anhand der Darstellungsmatrix bzgl. der Basis [mm] $\{1,x,x^2,x^3\}$ [/mm] bestimmt. Vektoren [mm] $\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{pmatrix}$, [/mm] die du reinsteckst, entsprechen also den Polynomen [mm] $a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] x + [mm] a_3 x^2 [/mm] + [mm] a_4 x^3$.
[/mm]
Wenn du jetzt herausbekommst, dass der Kern [mm] $\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$ [/mm] ist, dann liegen also die Polynome $x$ und [mm] $x^3$ [/mm] im Kern.
D.h. $Kern(G) = [mm] \{a * x + b * x^3: a,b\in \IR\}$.
[/mm]
> > - Hier kann man es aber auch direkt sehen: Überlege dir,
> > dass der Raum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3
> > ein vierdimensionaler Vektorraum ist. Zeige, dass das Bild
> > der Abbildung [mm]G[/mm] Dimension 2 hat (siehst du an deiner
> > Rechnung oben).
>
> Wie sehe ich das an meiner Rechnung oben?
Du hast einen vierdimensionalen Vektorraum, weil die Basis 4 Elemente hat: [mm] $\{1,x,x^2,x^3\}$.
[/mm]
An deiner Rechnung oben hast du gesehen, dass wenn du ein beliebiges Polynom höchstens dritten Grades eingesetzt hast, kam
[mm] $G(a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_2 x^2 [/mm] + [mm] a_3 x^3) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_2 x^2$
[/mm]
heraus. Das bedeutet
$Bild(G) = [mm] \{a_0 + a_2 x^2: a_0, a_2\in \IR\}$.
[/mm]
Das ist das Erzeugnis von [mm] $\{1,x^2\}$, [/mm] also ein 2-dimensionaler Unterraum, weil er von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird.
> > Nach der Dimensionsformel muss der Kern ebenfalls
> > Dimension 2 haben.
> > Du musst also nur zwei linear unabhängige Elemente
> > angeben, die auf Null abgebildet werden, und hast einen
> > Erzeuger vom Kern.
> > An deiner Rechnung oben kannst du leicht zwei solche
> > Elemente finden.
>
> Wie finde ich solche Elemente?
An deiner Rechnung oben hast du gesehen, dass
[mm] $G(a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_2 x^2 [/mm] + [mm] a_3 x^3) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_2 x^2$.
[/mm]
Welche Polynome wurden also auf Null abgebildet? Natürlich $x$ und [mm] $x^3$ [/mm] (diese tauchen ja auf der rechten Seite nicht mehr auf).
Diese sind linear unabhängig, daher bildet [mm] $\{x,x^3\}$ [/mm] einen Erzeuger des Kerns.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan
> Hallo,
>
>
> > > > Bin auf einen alten Beitrag gestossen:
> > > > https://vorhilfe.de/forum/Kern_Bild_von_Polynomen/t117117
> > > >
> > > > Nun wollte ich fragen, wie man genau den Kern direkt
> > > > berechnet.
> > > > Die Aufgabe lautet:
> > > > Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom
> Grad
> > > > höchstens drei.
> > > > [mm]G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2}[/mm]
> > > > Berechne den kern.
> > > >
> > > > So nun habe ich [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] in G
> > > > eingesetzt
> > > > Dann habe ich erhalten [mm]a_2x^2+2=0 \Rightarrow a_2=-2[/mm]
>
> >
> > > >
> > > Und
> > > > nun, was ist den jetzt der Kern?
> > >
> > >
> > > Es gibt zwei Möglichkeiten, den zu ermitteln.
> > >
> > > - Die "Standardvariante" wäre, die Darstellungsmatrix von
> > > [mm]G(p)[/mm] bzgl. einer Basis zu ermitteln, z.B. [mm]1,x,x^2,x^3[/mm]. Das
> > > ist hier nicht so schwer.
> > >
> > Ok. Versuche es mal:
> > G(1)=0
> > G(x)=0
> > [mm]G(x^2)=x[/mm]
> > [mm]G(x^3)=0[/mm]
> > [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > Stimmt das so?
>
>
> Nein. Du hast G(1) und [mm]G(x^2)[/mm] falsch berechnet. Es sollte
> [mm]G(1) = 1[/mm] und [mm]G(x^2) = x^2[/mm] sein.
Ah, hab meinen Fehler gefunden... :/
Hab für G(1)= (1+(-1))/2 gerechnet, was natürlich falsch ist.....
und ja für [mm] G(x^2)=(x^2+(-x)^2)/2=x^2 [/mm]
> Darstellungsmatrix also:
>
> [mm]A = \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
>
> > Dann muss ich doch [mm]Ax=(0,0,0,0)^t[/mm] berechnen,
>
> Ja.
>
> > daraus folgt, dass [mm]x_3=0,[/mm] die anderen sind beliebig.
>
> Das ist folgefalsch.
> Es würde herauskommen, dass die Vektoren
> [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] Erzeuger des Kerns
> sind.
>
> > Und was ist jetzt mein kern?
>
>
> Du hast den Kern anhand der Darstellungsmatrix bzgl. der
> Basis [mm]\{1,x,x^2,x^3\}[/mm] bestimmt. Vektoren
> [mm]\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{pmatrix}[/mm], die du
> reinsteckst, entsprechen also den Polynomen [mm]a_1 + a_2 x + a_3 x^2 + a_4 x^3[/mm].
>
> Wenn du jetzt herausbekommst, dass der Kern
> [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] ist, dann liegen
> also die Polynome [mm]x[/mm] und [mm]x^3[/mm] im Kern.
>
> D.h. [mm]Kern(G) = \{a * x + b * x^3: a,b\in \IR\}[/mm].
>
Und eine Basis des kerns wäre dann
[mm] \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}und \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}
[/mm]
Ist das richtig?
>
>
> > > - Hier kann man es aber auch direkt sehen: Überlege dir,
> > > dass der Raum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3
> > > ein vierdimensionaler Vektorraum ist. Zeige, dass das Bild
> > > der Abbildung [mm]G[/mm] Dimension 2 hat (siehst du an deiner
> > > Rechnung oben).
> >
> > Wie sehe ich das an meiner Rechnung oben?
>
>
> Du hast einen vierdimensionalen Vektorraum, weil die Basis
> 4 Elemente hat: [mm]\{1,x,x^2,x^3\}[/mm].
> An deiner Rechnung oben hast du gesehen, dass wenn du ein
> beliebiges Polynom höchstens dritten Grades eingesetzt
> hast, kam
>
> [mm]G(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3) = a_0 + a_2 x^2[/mm]
>
> heraus. Das bedeutet
>
> [mm]Bild(G) = \{a_0 + a_2 x^2: a_0, a_2\in \IR\}[/mm].
>
> Das ist das Erzeugnis von [mm]\{1,x^2\}[/mm], also ein
> 2-dimensionaler Unterraum, weil er von zwei linear
> unabhängigen Vektoren aufgespannt wird.
>
> > > Nach der Dimensionsformel muss der Kern ebenfalls
> > > Dimension 2 haben.
> > > Du musst also nur zwei linear unabhängige Elemente
> > > angeben, die auf Null abgebildet werden, und hast einen
> > > Erzeuger vom Kern.
> > > An deiner Rechnung oben kannst du leicht zwei solche
> > > Elemente finden.
> >
> > Wie finde ich solche Elemente?
>
> An deiner Rechnung oben hast du gesehen, dass
>
> [mm]G(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3) = a_0 + a_2 x^2[/mm].
>
> Welche Polynome wurden also auf Null abgebildet? Natürlich
> [mm]x[/mm] und [mm]x^3[/mm] (diese tauchen ja auf der rechten Seite nicht
> mehr auf).
> Diese sind linear unabhängig, daher bildet [mm]\{x,x^3\}[/mm]
> einen Erzeuger des Kerns.
Wow, super erklärt!!!! Vielen vielen Dank!!!! :)
>
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> Viele Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > > Stimmt das so?
> >
> >
> > Nein. Du hast G(1) und [mm]G(x^2)[/mm] falsch berechnet. Es sollte
> > [mm]G(1) = 1[/mm] und [mm]G(x^2) = x^2[/mm] sein.
>
>
> Ah, hab meinen Fehler gefunden... :/
> Hab für G(1)= (1+(-1))/2 gerechnet, was natürlich falsch
> ist.....
> und ja für [mm]G(x^2)=(x^2+(-x)^2)/2=x^2[/mm]
So ist es richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
> > Darstellungsmatrix also:
> >
> > [mm]A = \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> >
> > > Dann muss ich doch [mm]Ax=(0,0,0,0)^t[/mm] berechnen,
> >
> > Ja.
> >
> > > daraus folgt, dass [mm]x_3=0,[/mm] die anderen sind beliebig.
> >
> > Das ist folgefalsch.
> > Es würde herauskommen, dass die Vektoren
> > [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und
> > [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] Erzeuger des Kerns
> > sind.
> >
> > > Und was ist jetzt mein kern?
> >
> >
> > Du hast den Kern anhand der Darstellungsmatrix bzgl. der
> > Basis [mm]\{1,x,x^2,x^3\}[/mm] bestimmt. Vektoren
> > [mm]\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{pmatrix}[/mm], die du
> > reinsteckst, entsprechen also den Polynomen [mm]a_1 + a_2 x + a_3 x^2 + a_4 x^3[/mm].
>
> >
> > Wenn du jetzt herausbekommst, dass der Kern
> > [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und
> > [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] ist, dann liegen
> > also die Polynome [mm]x[/mm] und [mm]x^3[/mm] im Kern.
> >
> > D.h. [mm]Kern(G) = \{a * x + b * x^3: a,b\in \IR\}[/mm].
> >
>
>
> Und eine Basis des kerns wäre dann
> [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}und \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ja, für die Darstellungsmatrix stimmt das.
Aber für den ursprünglichen Vektorraum $V$ der Polynome vom Grad höchstens 3 und der linearen Abbildung $G$ lautet der Kern (s.o.)
$Kern(G) = [mm] \{a * x + b * x^3: a,b\in \IR\}$.
[/mm]
Beachte, dass du die Darstellungmatrix nur als Hilfsmittel benutzt.
Wenn du eine Darstellungsmatrix verwendest, gehst du sozusagen zu einem anderen Vektorraum über, nämlich zu [mm] $\IR^{4}$.
[/mm]
Diese "Übergangsabbildung" ist die, welche zuordnet: $(1,0,0,0) [mm] \mapsto [/mm] 1$, $(0,1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] x$, $(0,0,1,0) [mm] \mapsto x^2$, [/mm] $(0,0,0,1) [mm] \mapsto x^3$.
[/mm]
In dem Sinne musst du das Ergebnis für den Kern der Darstellungsmatrix dann noch zurückübersetzen.
$(0,1,0,0)$ wird zu $x$,
und $(0,0,0,1)$ wird zu [mm] $x^3$.
[/mm]
> Wow, super erklärt!!!! Vielen vielen Dank!!!! :)
Kein Problem :)
Viele Grüße,
Stefan
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Hei Stefan
Nur noch eine Frage....
Manchmal steht bei einer Aufgabe man soll den kern berechnen und manchmal steht eben man soll eine Basis des Kerns berechnen. Ist das dasselbe?
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Hallo,
> Hei Stefan
>
> Nur noch eine Frage....
> Manchmal steht bei einer Aufgabe man soll den kern
> berechnen und manchmal steht eben man soll eine Basis des
> Kerns berechnen. Ist das dasselbe?
Wenn du eine Basis des Kerns hast, kannst du sofort den gesamten Kern angeben:
Bei uns war [mm] $\{x,x^3\}$ [/mm] eine Basis des Kerns, der Kern selbst war dann die Menge aller Linearkombinationen dieser Basiselemente:
[mm] $\{a*x + b *x^3: a,b \in \IR\}$
[/mm]
"Basis des Kerns" und "Kern" ist also nicht dasselbe, aber man kann aus einer Basis ganz schnell den gesamten Kern gewinnen.
Merke: Eine Basis ist meist endlich (oben hatte sie nur zwei Elemente), aber der Kern selbst ist natürlich ein Vektorraum und hat unendlich viele Elemente.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Do 06.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hei,
Ok! Danke viel mal für all deine Antworten!!!!!
Nun habe ich, hoffe ich, den "kern" verstanden!!!! super!
Übe dann morgen weiter!
Schlaf gut!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
>
> Bin auf einen alten Beitrag gestossen:
> https://vorhilfe.de/forum/Kern_Bild_von_Polynomen/t117117
>
> Nun wollte ich fragen, wie man genau den Kern direkt
> berechnet.
> Die Aufgabe lautet:
> Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad
> höchstens drei.
> [mm]G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2}[/mm]
> Berechne den kern.
>
> So nun habe ich [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] in G
> eingesetzt
> Dann habe ich erhalten [mm]a_2x^2+2=0 \Rightarrow a_2=-2[/mm]
Hä ? wie kommst Du darauf ??
Für [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] gilt:
G(p)(x)= [mm] a_0+a_2x^2.
[/mm]
Dann hat man:
p [mm] \in [/mm] Kern(G) [mm] \gdw [/mm] G(p) ist das Nullpolynom [mm] \gdw a_0=a_2=0 \gdw [/mm] p(x)= [mm] a_1x+a_3x^3 \gdw [/mm] p [mm] \in [/mm] span [mm] \{x,x^3\}
[/mm]
FRED
> Und
> nun, was ist den jetzt der Kern?
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