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| Aufgabe | zeigen Sie: f irreduzibel über [mm] \IQ[X]:
[/mm]
[mm] f(x)=X^{4}-3X^{3}+3X^{2}-X+1 [/mm] |
habe mir, da eisenstein denk ich nicht hilft, überlegt das reduktionskriterium über [mm] \IZ/3\IZ [/mm] anzuwenden und erhalte [mm] f(X)=X^{4}+2X+1.
[/mm]
Nun wäre meine Frage zunächst, ob ich über [mm] \IZ/3\IZ [/mm] sagen kann [mm] X^{4}=X^{2}, [/mm] da ja [mm] 1^{4}=1, 2^{4}=2^{2}=1, 3^{4}=0.
[/mm]
angenommen, dies stimmt, erhalte ich [mm] f(X)=X^{2}+2X+1, [/mm] und sehe, dass f eine Nullstelle bei 2 hat, was aber eig. nicht sein sollte. wo ist das problem?stimmt das oder ist ein haken dran?
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Hallo sepp-sepp,
> zeigen Sie: f irreduzibel über [mm]\IQ[X]:[/mm]
> [mm]f(x)=X^{4}-3X^{3}+3X^{2}-X+1[/mm]
>
> habe mir, da eisenstein denk ich nicht hilft, überlegt das
> reduktionskriterium über [mm]\IZ/3\IZ[/mm] anzuwenden und erhalte
> [mm]f(X)=X^{4}+2X+1.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun wäre meine Frage zunächst, ob ich über [mm]\IZ/3\IZ[/mm]
> sagen kann [mm]X^{4}=X^{2},[/mm] da ja [mm]1^{4}=1, 2^{4}=2^{2}=1, 3^{4}=0.[/mm]
Hmm, hmm, da bin ich nicht sicher ...
>
> angenommen, dies stimmt, erhalte ich [mm]f(X)=X^{2}+2X+1,[/mm] und
> sehe, dass f eine Nullstelle bei 2 hat,
Es ist 2 (modulo 3) auch Nullstelle des eingangs berechneten reduzierten Polynoms [mm]X^4+2X+1[/mm]
Damit erübrigt sich die Frage nach dem [mm]X^4 --> X^2[/mm] auch 
> was aber eig. nicht
> sein sollte. wo ist das problem?
Die Reduktion bringt nix.
Ich meine, auf die Schnelle zu "sehen", dass eine Reduktion modulo 2 besser hinhaut ...
> stimmt das oder ist ein
> haken dran?
Gruß
schachuzipus
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ja, danke schon mal. das habe ich gemacht und erhalte mit red. mod 2 das folgende normierte polynom [mm] f(X)=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1 [/mm]
sieht schon mal gut aus, jedoch fehlt mir jetzt noch der entscheidende argumentationsschritt. woraus kann ich denn jetzt auf irreduzibel schließen?nullstellen denk ich hat das ding nicht, aber das würde eh nur bis grad 3 nützen:(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Di 07.12.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> ja, danke schon mal. das habe ich gemacht und erhalte mit
> red. mod 2 das folgende normierte polynom
> [mm]f(X)=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1[/mm]
> sieht schon mal gut aus, jedoch fehlt mir jetzt noch der
> entscheidende argumentationsschritt. woraus kann ich denn
> jetzt auf irreduzibel schließen?nullstellen denk ich hat
> das ding nicht, aber das würde eh nur bis grad 3 nützen:(
Da du schon weißt, dass das Polynom keine Nullstelle hat, kann es keinen Teiler mit Grad 1 geben, d.h. falls es $g,h [mm] \in \IF_2[X]$ [/mm] gibt, sodass $f=gh$, so müssen g und h vom Grad 2 sein und jeweils selbst irreduzibel, sonst läge weider eine Nullstelle vor. Das sollte dir schon weiter helfen, es gibt nämlich nicht sehr viele irred. Polynome vom Grad 2 in [mm] $\IF_2[X]$. [/mm]
Viele Grüße, Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Di 07.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > habe mir, da eisenstein denk ich nicht hilft, überlegt das
> > reduktionskriterium über [mm]\IZ/3\IZ[/mm] anzuwenden und erhalte
> > [mm]f(X)=X^{4}+2X+1.[/mm]
> > Nun wäre meine Frage zunächst, ob ich über [mm]\IZ/3\IZ[/mm]
> > sagen kann [mm]X^{4}=X^{2},[/mm] da ja [mm]1^{4}=1, 2^{4}=2^{2}=1, 3^{4}=0.[/mm]
>
> Hmm, hmm, da bin ich nicht sicher ...
Zum Nullstellen-Testen ist das ok (wenn auch ziemlich ueberfluessig), da man dort nur die Polynomfunktion betrachtet. Das Polynom selber aber so zu aendern ist schlichtweg falsch.
Beispielsweise gilt ueber [mm] $\IF_2$, [/mm] dass [mm] $X^2 [/mm] = X$ ist als Polynomfunktion. Trotzdem ist das Polynom $X + 1$ irreduzibel, das Polynom [mm] $X^2 [/mm] + 1$ jedoch nicht! Und das Polynom [mm] $X^4 [/mm] + X + 1$ ist etwa irreduzibel, das Polynom [mm] $X^4 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + 1 = [mm] (X^2 [/mm] + X + [mm] 1)^2$ [/mm] jedoch nicht.
LG Felix
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