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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - irreduzibel und Primelement
irreduzibel und Primelement < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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irreduzibel und Primelement: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Do 07.04.2016
Autor: Johnny1994

In der Vorlesung zur Linearen Algebra II haben wir folendes Beispiel aufgeführt um Irreduzibilität und Prim zu beweisen.

Beispiel: 2 ist irreduzibel in [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm]
wir haben das so aufgebaut:

[mm] (a+b\wurzel{-5})*(x+y\wurzel{-5})=2 [/mm]
[mm] (a-b\wurzel{-5})*(x-y\wurzel{-5})=2 [/mm]

* [mm] (a^2+5b^2)(x^2+5y^2)= [/mm] 4 daraus folgt ja die Irreduzubilität

Ähnlich geht ja der nachweis des Primelement

ich verstehe nur nicht, wie man auf einen Schritt kommt:

2 ist kein Primelement
zz: 1) 2 teilt nicht [mm] (1+\wurzel{-5}), [/mm]
2) 2 teilt nicht [mm] 1-\wurzel{-5} [/mm]
und 3) 2 teilt [mm] (1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5}) [/mm]

und bei 3 gilt  2*3=6 [mm] =(1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5}) [/mm] wie kommt man auf die 3? ist diese beliebig gewählt? 2 ist klar

ich bin schon am verzweifeln! Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe! LG Johnny

        
Bezug
irreduzibel und Primelement: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Do 07.04.2016
Autor: fred97


> In der Vorlesung zur Linearen Algebra II haben wir folendes
> Beispiel aufgeführt um Irreduzibilität und Prim zu
> beweisen.
>
> Beispiel: 2 ist irreduzibel in [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm]
>  wir haben das so aufgebaut:
>  
> [mm](a+b\wurzel{-5})*(x+y\wurzel{-5})=2[/mm]
>  [mm](a-b\wurzel{-5})*(x-y\wurzel{-5})=2[/mm]
>  
> * [mm](a^2+5b^2)(x^2+5y^2)=[/mm] 4 daraus folgt ja die
> Irreduzubilität
>  
> Ähnlich geht ja der nachweis des Primelement
>  
> ich verstehe nur nicht, wie man auf einen Schritt kommt:
>  
> 2 ist kein Primelement
> zz: 1) 2 teilt nicht [mm](1+\wurzel{-5}),[/mm]
>  2) 2 teilt nicht [mm]1-\wurzel{-5}[/mm]
>   und 3) 2 teilt [mm](1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})[/mm]
>  
> und bei 3 gilt  2*3=6 [mm]=(1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})[/mm] wie
> kommt man auf die 3? ist diese beliebig gewählt? 2 ist
> klar
>  
> ich bin schon am verzweifeln! Vielen Dank im Voraus für
> Eure Hilfe! LG Johnny

Es ist


[mm] $(1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})=6=2*3$ [/mm]

Somit ist 2 ein Teiler von [mm](1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})[/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
irreduzibel und Primelement: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Do 07.04.2016
Autor: Johnny1994

Aber woher kommt die 3 und warum =6?

LG Johnny

Bezug
                        
Bezug
irreduzibel und Primelement: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Do 07.04.2016
Autor: fred97


> Aber woher kommt die 3 und warum =6?

$ [mm] (1+\wurzel{-5})\cdot{}(1-\wurzel{-5})=1^2-(\wurzel{-5})^2=1-(-5)=6 [/mm] $

Das erste "=" ist Binomi.

Weiter ist 6=2*3

FRED

>  
> LG Johnny


Bezug
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