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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - inhomogene DGL
inhomogene DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Sa 16.02.2013
Autor: ralfr

Hallo ich hänge gerade bei dem Thema inhomogene DGL
Als Beispiel ist hier eine Gleichung angegeben:
[mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] - xy= -2x$
die allgemeine homogene Lösung lautet:
[mm] $y_{hom}(x)=ce^{x^2/2}$ [/mm] (Dieses c ist einfach bloß eine Konstante die wir noch nicht berechnen können oder wie soll ich mir das vorstellen?)

Der unbekannte Koeffizient wird ja nun wie folgt berechnet:
$c(x)= [mm] \integral{ dx} \frac{f(x)}{y_{hom}(x)}$ [/mm]
dort stand dann auf einmal
$c(x)= [mm] \integral{ dx}2xe^{-x^2/2}$ [/mm]
$f(x)$ ist doch aber -2x oder nicht? ist das dann nicht:
$c(x)= [mm] \integral{ dx}-2xe^{-x^2/2}$? [/mm]
Die vollständige Lösung der Differentialgleichung soll dann auf einmal sein:
$y(t)=-2+ [mm] ce^{x^2/x}$ [/mm]

Wie kommt man auf einmal zu der Lösung?

        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Sa 16.02.2013
Autor: MathePower

Hallo ralfr,

> Hallo ich hänge gerade bei dem Thema inhomogene DGL
>  Als Beispiel ist hier eine Gleichung angegeben:
>  [mm]\frac{dy}{dx} - xy= -2x[/mm]
>  die allgemeine homogene Lösung
> lautet:
>  [mm]y_{hom}(x)=ce^{x^2/2}[/mm] (Dieses c ist einfach bloß eine
> Konstante die wir noch nicht berechnen können oder wie
> soll ich mir das vorstellen?)
>  
> Der unbekannte Koeffizient wird ja nun wie folgt
> berechnet:
>  [mm]c(x)= \integral{ dx} \frac{f(x)}{y_{hom}(x)}[/mm]
>  dort stand
> dann auf einmal
>  [mm]c(x)= \integral{ dx}2xe^{-x^2/2}[/mm]
>  [mm]f(x)[/mm] ist doch aber -2x
> oder nicht? ist das dann nicht:
>  [mm]c(x)= \integral{ dx}-2xe^{-x^2/2}[/mm]?


Ja.


>  Die vollständige
> Lösung der Differentialgleichung soll dann auf einmal
> sein:
>  [mm]y(t)=-2+ ce^{x^2/x}[/mm]
>  
> Wie kommt man auf einmal zu der Lösung?


Berechne zunächst [mm]c\left(x\right)[/mm].
Setze dies dann in den Ansatz für die partikuläre Lösung ein.

Die Gesamtlösung setzt sich aus der homogenen
und der partikulären Lösung der DGL zusammen.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Sa 16.02.2013
Autor: ralfr

Ok dankeschön also $c(x)= [mm] -2e^{-x^2/2}$ [/mm]
[mm] $y_{part}(x)=c(x)y_{hom}(x)$ [/mm]
[mm] $y_{part}(x)=-2e^0=-2$ [/mm]
[mm] $y(x)=y_{part}(x)+y_{hom}(x)$ [/mm]
$y=-2+ [mm] ce^{x^2/2}$ [/mm]

Vielleicht ist das ja beim ersten Post untergegangen aber:
$ [mm] y_{hom}(x)=ce^{x^2/2} [/mm] $ bei der berechnung von der homogenen Lösung ist dort ein c. Was hat es damit auf sich?

Bezug
                        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Sa 16.02.2013
Autor: MathePower

Hallo ralfr,

> Ok dankeschön also [mm]c(x)= -2e^{-x^2/2}[/mm]
>  
> [mm]y_{part}(x)=c(x)y_{hom}(x)[/mm]
>  [mm]y_{part}(x)=-2e^0=-2[/mm]
>  [mm]y(x)=y_{part}(x)+y_{hom}(x)[/mm]
>  [mm]y=-2+ ce^{x^2/2}[/mm]
>  
> Vielleicht ist das ja beim ersten Post untergegangen aber:
>  [mm]y_{hom}(x)=ce^{x^2/2}[/mm] bei der berechnung von der homogenen
> Lösung ist dort ein c. Was hat es damit auf sich?


Bei der homogenen Lösung der DGL ist das c konstant.

Zur Bestimmung der partikulären Lösung der DGL wird
dieses c zusätzlich von x abhängig gemacht.


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:16 So 17.02.2013
Autor: fred97


> Ok dankeschön also [mm]c(x)= -2e^{-x^2/2}[/mm]
>  
> [mm]y_{part}(x)=c(x)y_{hom}(x)[/mm]
>  [mm]y_{part}(x)=-2e^0=-2[/mm]
>  [mm]y(x)=y_{part}(x)+y_{hom}(x)[/mm]
>  [mm]y=-2+ ce^{x^2/2}[/mm]
>  
> Vielleicht ist das ja beim ersten Post untergegangen aber:
>  [mm]y_{hom}(x)=ce^{x^2/2}[/mm] bei der berechnung von der homogenen
> Lösung ist dort ein c. Was hat es damit auf sich?


Eine homogene lineare DGL 1. Ordnung sieht so aus:

(*)    y'=a(x)y,

wobei  a:I [mm] \to \IR [/mm] stetig ist (I ein Intervall).

Ist nun A eine Stammfunktion von a auf I, so kann man  für eine Funktion y: I [mm] \to \IR [/mm] zeigen:


   y ist eine Lösung von (*) auf I  [mm] \gdw [/mm] es ex. ein c [mm] \in \IR: y(x)=ce^{A(x)} [/mm]


D.h:   für jedes c [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] y(x)=ce^{A(x)} [/mm] eine Lösung der DGL.

FRED


Bezug
        
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inhomogene DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:19 So 17.02.2013
Autor: fred97

Eine Bemerkung:

manchmal kann man sich viel Arbeit sparen, wenn man sich eine DGL genau ansieht.

Dass die DGL   $y' - xy= -2x $ die spezielle Lösung [mm] y_p \equiv [/mm] 2 hat , kann man (fast) "sehen".

FRED

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