hypergeometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist eine Grundgesamtheit aus N Elementen, von denen M eine bestimmte Eigenschaft haben. Man entnimmt eine Stichprobe vom Umfang n (ohne Zurücklegen). Dann kann die Zufallsvariable X = Anzahl der Elemente in der Stichprobe mit der gewünschten Eigenschaft höchstens die Werte x = 0, 1, 2, ..., n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, genau x Elemente mit der gewünschten Eigenschaft in der Stichprobe vorzufinden, ist
P(X = x) = [mm] \bruch{\vektor{M \\ x} \vektor{N - M \\ n - x}}{\vektor{N \\ n}}
[/mm]
Man nennt X hypergeometrisch verteilt und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern n, M und N. Kurzschreibweise: X [mm] \sim [/mm] H(n; M; N). |
Hallo,
hier werden nach Definition der hypergeometrischen Verteilung Erwartungswert
[mm] \mu [/mm] = E(X) = [mm] n\bruch{M}{n}
[/mm]
und Varianz
[mm] \sigma^2 [/mm] = Var(X) = [mm] n\bruch{M}{N}(1 [/mm] - [mm] \bruch{M}{N})\bruch{N - n}{N - 1}
[/mm]
vorgestellt und folgendermaßen hergeleitet:
"Herleitung der Formeln: Für den Erwartungswert berechnen wir zunächst [mm] \summe_{i=0}^{M} i\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i} [/mm] = ... = [mm] M\bruch{n}{N}\vektor{N \\ n}...
[/mm]
Dividieren wir beide Seiten dieser Identität durch [mm] \vektor{N \\ n}, [/mm] so steht links [mm] \mu [/mm] und rechts M [mm] \bruch{n}{N}.
[/mm]
Die Formel für [mm] \sigma^2 [/mm] folgt analog, indem man [mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - [mm] 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i} [/mm] = M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n} [/mm] zeigt."
Ich kann zwar einen Weg von
[mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - [mm] 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}
[/mm]
nach
M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n}
[/mm]
finden, was ich hieran aber nicht verstehe ist:
1) Wieso soll anscheinend gelten:
[mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}}
[/mm]
2) Die Rechnung endet wie gesagt bei
... = M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n}
[/mm]
Aber
[mm] \bruch{M(M - 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n}}{\vektor{N \\ n}} \not= n\bruch{M}{N}(1 [/mm] - [mm] \bruch{M}{N})\bruch{N - n}{N - 1} [/mm] = [mm] \sigma^2 [/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier)
|
|
| |
|
Hiho,
> 1) Wieso soll anscheinend gelten:
>
> [mm]\sigma^2[/mm] = [mm]\bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}}[/mm]
Tut es nicht und steht auch nirgends.
Da steht nur, dass dir die Berechnung von [mm]\bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}} = \summe_{i=0}^{M} i(i - 1)P(X = i)[/mm] bei der Berechnung von [mm] $\sigma^2$ [/mm] hilft.
Denn es ist [mm] \summe_{i=0}^{M} i(i - 1)P(X = i) = \summe_{i=0}^{M} i^2P(X = i) - \summe_{i=0}^{M} iP(X = i) = E[X^2] - \mu[/mm]
D.h. es gilt: [mm] $\sigma^2 [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] \mu [/mm] + [mm] \mu(1 [/mm] - [mm] \mu) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - 1)P(X = i) + [mm] \mu(1 [/mm] - [mm] \mu)$
[/mm]
Du musst also zu deinem Ergebnis noch was dazuaddieren…
Gruß,
Gono
|
|
|
|
