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Forum "Differenzialrechnung" - hinreichend aber nicht notw.
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hinreichend aber nicht notw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:56 Do 11.07.2019
Autor: matheman

Aufgabe
Die Bedingung "f'(x) wechselt bei XE sein Vorzeichen" ist hinreichend für das Vorliegen einer lokalen Extremstelle, nicht aber notwendig.

Das heißt doch auch, dass es eine Funktion geben muss, die ein Extremum bei XE hat, bei der die erste Ableitung aber keinen VZW hat.

Kann mir jemand dafür ein einfaches Beispiel sagen, ich habe mit Polynomen rumprobiert habe keins gefunden.

        
Bezug
hinreichend aber nicht notw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Do 11.07.2019
Autor: fred97


> Die Bedingung "f'(x) wechselt bei XE sein Vorzeichen" ist
> hinreichend für das Vorliegen einer lokalen Extremstelle,
> nicht aber notwendig.
>  Das heißt doch auch, dass es eine Funktion geben muss,
> die ein Extremum bei XE hat, bei der die erste Ableitung
> aber keinen VZW hat.
>  
> Kann mir jemand dafür ein einfaches Beispiel sagen, ich
> habe mit Polynomen rumprobiert habe keins gefunden.

Nimm eine konstante Funktion ....


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Bezug
hinreichend aber nicht notw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 Do 11.07.2019
Autor: matheman

Hm. Hat den eine konstante Funktion ein Extremum? Gibt es auch eine Funktion höheren Grades?

Bezug
                        
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hinreichend aber nicht notw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Do 11.07.2019
Autor: fred97


> Hm. Hat den eine konstante Funktion ein Extremum?

Na klar, ist z.B. f(x)=3 für $x [mm] \in \IR$, [/mm] so hat f in jedem [mm] x_0 \in \IR [/mm] ein lokales (globales) Minimum und dort auch ein lokales (globales) Maximum.



> Gibt es
> auch eine Funktion höheren Grades?

Schau Dir mal folgende Funktion an:

[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ x^2, & \mbox{für } x >0 \end{cases}. [/mm]

Diese Funktion hat in [mm] x_0=0 [/mm] ein lokales , sogar globales Minimum.

f is differenzierbar auf [mm] \IR [/mm] mit

[mm] $f'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ 2x, & \mbox{für } x >0 \end{cases},$ [/mm]

es ist $f'(0)=0$, aber $f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 $ für alle $x [mm] \in \IR.$ [/mm]

$f'$ hat also keinen Vorzeichenwechsel.


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hinreichend aber nicht notw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Do 11.07.2019
Autor: matheman

Klasse! Darauf wäre ich jetzt nicht gekommen. Ich hatte mehr bei den "normalen" Polynomen geguckt, nichts, was man man erst zusammenbauen muss. Gibt es denn auch ein -ich sag mal- einfaches Polynom mit [mm] f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+....a_{0} [/mm] was man nehmen könnte? Fällt dir da was ein?

Bezug
                                        
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hinreichend aber nicht notw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Do 11.07.2019
Autor: fred97


> Klasse! Darauf wäre ich jetzt nicht gekommen. Ich hatte
> mehr bei den "normalen" Polynomen geguckt, nichts, was man
> man erst zusammenbauen muss. Gibt es denn auch ein -ich sag
> mal- einfaches Polynom mit
> [mm]f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+....a_{0}[/mm] was man nehmen
> könnte?

Nein. Ist n =0, so hast Du eine konstante Funktion f, damit haben wir uns schon beschäftigt.

Ist n=1, so hat f keine Extremstellen.

Ist n [mm] \ge [/mm] 2 und ist [mm] x_0 [/mm] eine Extremstelle, so hat f' in [mm] x_0 [/mm] einen Vorzeichenwechsel.






> Fällt dir da was ein?


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hinreichend aber nicht notw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Do 11.07.2019
Autor: matheman

Super! Vielen Dank für deine Antworten!

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hinreichend aber nicht notw.: "strikter" Vorzeichenwechsel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Fr 12.07.2019
Autor: Al-Chwarizmi

$ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ 2x, & \mbox{für } x >0 \end{cases}, [/mm] $

es ist $ f'(0)=0 $, aber $ f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 $ für alle $ x [mm] \in \IR. [/mm] $

$ f' $ hat also keinen Vorzeichenwechsel.

=========================================

(1.) Vorbemerkung: du meintest wohl

$ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ x^2, & \mbox{für } x >0 \end{cases}, [/mm] $

(so ist f'(0) auch tatsächlich definiert !)



(2.) Naja, immerhin hat man dann doch für f'(x) an der
Stelle $\ x=0$ einen Wechsel von (konstant gleich null)
auf der linken Seite zu (positiv) für positive x.

Müsste man da vielleicht noch den Begriff "Vorzeichenwechsel"
verdeutlichen (so dass nur ein Wechsel von minus zu plus oder
aber einer von plus zu minus als echter Vorzeichenwechsel
deklariert werden soll) ... ?

Lieben Gruß ,   Al

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hinreichend aber nicht notw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:41 Fr 12.07.2019
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Was ist denn mit [mm] \sqrt{x} [/mm] ?  Die Ableitung existiert nur für [mm] $x\leq [/mm] 0$, und ist immer positiv. Dennoch ist [mm] \sqrt{0}=0 [/mm] globales Minimum.

Bezug
                
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hinreichend aber nicht notw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:04 Fr 12.07.2019
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Was ist denn mit [mm]\sqrt{x}[/mm] ?  Die Ableitung existiert nur
> für [mm]x\leq 0[/mm]

Du meinst sicher, dass die Ableitung nur für $x>0$ existiert.

> , und ist immer positiv. Dennoch ist [mm]\sqrt{0}=0[/mm]
> globales Minimum.

Ich habe matheman so verstanden (auch wenn er (sie ?) das nicht explizit gesagt hat):

Ist $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine differenzierbare Funktion und hat $f$ in einem inneren Punkt [mm] x_0 [/mm] von D eine lokale Extremstelle, gibt es dann ein [mm] \delta [/mm] >0 derart, dass [mm] (x_0-\delta, x_0+ \delta) \subseteq [/mm] D ist und dass die Funktion $f'$ in den Teilintervallen  [mm] (x_0-\delta, x_0) [/mm]  und  [mm] (x_0, x_0+ \delta) [/mm] verschiedene Vorzeichen hat ?

Das dem nicht immer so ist, zeigen meine Beispiele.

In Deinem Beispiel ist [mm] D=[0,\infty), f(x)=\sqrt{x} [/mm] und [mm] x_0=0. [/mm]

Das passt aber in meinen Augen nicht ganz, denn [mm] x_0 [/mm] ist kein innerer Punkt von D und f ist in [mm] x_0 [/mm] nicht differenzierbar.




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