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Forum "Fourier-Transformation" - exp(-Pi*x^2) transformieren
exp(-Pi*x^2) transformieren < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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exp(-Pi*x^2) transformieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Mi 06.01.2010
Autor: kunzmaniac

Aufgabe
Ich soll $f(x) = [mm] exp(-\pi*x^2)$ [/mm] transformieren.

Ansatz:

[mm] $\mathcal{F}(x) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-\pi*y^2)*exp(-2\pi*i*xy) dy} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-\pi*y(y+2*i*x)) dy}$ [/mm]
Bin hier weder durch Subs, noch durch Partielle Int. weitergekommen, man kann das Integral noch in Re und Im zerlegen:
[mm] $\mathcal{F}(x) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{cos(-\pi*y(y+2*x)) + i*sin(-\pi*y(y+2*x)) dy} [/mm]

hat jemand einen Tipp für das Integral?

        
Bezug
exp(-Pi*x^2) transformieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Mi 06.01.2010
Autor: Doing

Hallo!

Das Integral löst man am besten durch quadratische Ergänzung.
Hilft dir das weiter?

Grüße,
Doing

Bezug
                
Bezug
exp(-Pi*x^2) transformieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Mi 06.01.2010
Autor: kunzmaniac

Danke für die Antwort Doing,

coole Idee. Ich komme dann auf

[mm] $exp(-\pi*x^2)*\integral_{-\infty}^{\infty}{exp((\wurzel(\pi)(y*i-x))^2) dy}$ [/mm]

Vorne steht meine Ausgangsfunktion, wäre schön, wenn das Integral jetzt 1 ergibt. Habe noch ein bisschen umgeformt:

[mm] $exp(-\pi*x^2)*\integral_{-\infty}^{\infty}{exp(\pi(y*i-x)^2) dy}$ [/mm]

Jetzt würde ich doch eigentlich gerne ein bisschen substituieren um etwas von der Form [mm] $exp(\pi*z^2)$ [/mm] zu bekommen, ich kann aber schlecht $z=y-i*x$ substituieren, da bekomme ich ja komplexe Grenzen. Hast Du nochmal einen Tipp für mich?


Bezug
                        
Bezug
exp(-Pi*x^2) transformieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Mi 06.01.2010
Autor: Doing

Hallo!

> Danke für die Antwort Doing,
>  
> coole Idee. Ich komme dann auf
>  
> [mm]exp(-\pi*x^2)*\integral_{-\infty}^{\infty}{exp((\wurzel(\pi)(y*i-x))^2) dy}[/mm]
>  
> Vorne steht meine Ausgangsfunktion, wäre schön, wenn das
> Integral jetzt 1 ergibt. Habe noch ein bisschen umgeformt:
>  
> [mm]exp(-\pi*x^2)*\integral_{-\infty}^{\infty}{exp(\pi(y*i-x)^2) dy}[/mm]

Hier solltest du so umformen, dass das Minuszeichen im Argument der e-Funktion vor der Klammer steht. So ist man dann auch das i als Faktor vor der Integrationsvariablen los.

>  
> Jetzt würde ich doch eigentlich gerne ein bisschen
> substituieren um etwas von der Form [mm]exp(\pi*z^2)[/mm] zu
> bekommen, ich kann aber schlecht [mm]z=y-i*x[/mm] substituieren, da
> bekomme ich ja komplexe Grenzen. Hast Du nochmal einen Tipp
> für mich?
>    

Ja im Endeffekt musst du dann genau die von dir genannte Substitution durchführen. Um das entstehende Integral zu lösen, musst du dann noch zeigen, dass man den Integrationsweg in der komplexen Ebene verschieben darf, d.h. dass gilt:

[mm] \integral_{-\infty+ia}^{\infty+ia}{exp(-bx^2) dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-bx^2) dx} [/mm]

Mit irgendwelchen Konstanten a,b. Dies zeigt man am besten mit dem Cauchy'schen Integralsatz.

Sollte dir der noch nicht bekannt sein, wird die Sache etwas schwieriger. Dann müsste man die Fouriertransformierte berechnen indem man unter dem Integral differenziert, und so eine DGL konstruiert.

Ich weiß natürlich leider nicht, welche Vorkenntnisse du hast und in welchem Rahmen die Aufgabe gestellt wurde.
Für weitere Fragen stehe ich aber gerne bereit.

Grüße,
Doing

Bezug
                                
Bezug
exp(-Pi*x^2) transformieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Mi 06.01.2010
Autor: Stefan-auchLotti

Hi,

könnte man nicht einfach ausnutzen, dass

$$    [mm] e^{\mathrm{i}\,\varphi} [/mm] = [mm] \cos\left(\varphi \right) [/mm] + [mm] \mathrm{i}\,\sin\left( \varphi\right) [/mm] $$

?

Gruß, Stefan.

Bezug
                                        
Bezug
exp(-Pi*x^2) transformieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Mi 06.01.2010
Autor: Doing

Hallo!

Das könnte man natürlich machen; allerdings sind die so entstehenden Integrale meines erachtens nach wesentlich komplizierter.

Grüße,
Doing

Bezug
                                
Bezug
exp(-Pi*x^2) transformieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mi 06.01.2010
Autor: kunzmaniac

Hey! Das klingt echt interessant.
Eigentlich klar, dass die Gleichung gelten muss ich integriere ja nur eine "reelle" Variable, das i*a ist also nur eine Parallelverschiebung in der komplexen Ebene und ändert nichts an den Werten. Nur beweisen kann ich es leider nicht, habe bei komplexer Integration leider null Vorkenntnisse.

vielen Dank nochmal!

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