direkte Summe < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Do 16.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.
a) Es gilt U ⊕W = R2, wobei U = [mm] \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] : x ∈R und W [mm] =\begin{pmatrix} 2x \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] : x ∈R.
b) Es gilt U ⊕W = C2, wobei U [mm] =\{\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \lambda : \lambda\inC\} [/mm] und W [mm] =\{\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} \lambda : \lambda\in C \}
[/mm]
c) Es gilt R2 = {0} ⊕ R2. |
Hallo,
ich weiss dass ich zeigen müsste,
dass der Schnitt jeweils nur die Null enthält.
und das U + W = V ist.
ich steh jedoch rechnerisch total auf dem Schlauch. bei a) würde ich vom zeichnerischen sagen, dass der Schnitt mehr als nur 0 enthält, ich weiss aber nicht wie ich die zwei Punkte rechnerisch zeigen soll.
Ich wäre sehr froh und dankbar, wenn mir jemand an einem ähnlichen Beispiel einmal die Herangehensweise zeigen würde!
Vielen, vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Do 16.03.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) kannst du doch wohl den schnitt ausrechnen?
b) wie sieht ein typischer Vektor in [mm] \IC^2 [/mm] aus kannst du den als Linearkombination der 2
herstellen
c) auch da sollte der Schnitt leicht sein oder wieder kannst du aus dem Span alle Vektoren des [mm] \IR^2 [/mm] erstellen.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
> Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.
> a) Es gilt U ⊕W = [mm] \IR^2, [/mm] wobei U [mm] =\{ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}
: x \in\IR\}und [/mm] W [mm] =\{\begin{pmatrix} 2x \\ 0 \end{pmatrix}: x \in\IR\}
[/mm]
> Hallo,
> ich weiss dass ich zeigen müsste,
> dass der Schnitt jeweils nur die Null enthält.
> und das U + W = V ist.
Moin,
genau. Du weißt also, was prinzipiell zu tun wäre.
> ich steh jedoch rechnerisch total auf dem Schlauch. bei a)
> würde ich vom zeichnerischen sagen, dass der Schnitt mehr
> als nur 0 enthält,
Wie sieht denn U zeichnerisch aus? Wie W?
Kannst Du zwei Punkte sagen, die sowohl in U als auch in W liegen?
Wieso liegen diese Punkte in U?
Wieso liegen sie in W? (Hierfür mußt Du vorrechnen, daß sie der "Bauanleitung" für Punkte aus W genügen.)
Wenn Dir das gelingt, hast Du gezeigt, daß der Schnitt nicht nur aus dem Nullvektor besteht.
Damit weiß man, daß die Summe keine direkte Summe ist.
Bei Aufgabe a) gibt es ein weiteres Problem: es ergibt U+W gar nicht den [mm] \IR^2.
[/mm]
Oder fällt Dir ein, wie man aus Elementen von U und W den Vektor [mm] \pmat{0\\5} [/mm] bekommen könnte?
> ich weiss aber nicht wie ich die zwei
> Punkte rechnerisch zeigen soll.
> Ich wäre sehr froh und dankbar, wenn mir jemand an einem
> ähnlichen Beispiel einmal die Herangehensweise zeigen
> würde!
Okay, vielleicht helfen Dir Beispiele wirklich weiter.
A.
Sei [mm] U:=\{\pmat{x\\2x}|x\in\IR}, W:=\{\pmat{3x\\0}|x\in\IR\}.
[/mm]
Ist [mm] U\oplus W=\IR^2?
[/mm]
1. Ist im Schnitt nur der Nullvektor?
Sei [mm] v\in U\cap [/mm] W.
Dann ist [mm] v\in [/mm] U und [mm] v\in [/mm] W.
Also gibt es eine Zahl [mm] r\in\IR [/mm] , so daß [mm] v=\pmat{r\\2r},
[/mm]
und eine Zahl [mm] t\in \IR, [/mm] so daß [mm] v=\pmat{3t\\0}.
[/mm]
Somit ist [mm] \pmat{r\\2r}=\pmat{3t\\0},
[/mm]
also
r=3t
und
r=0.
Lösen des Gleichungssystems ergibt r=0 und t=0.
Also ist im Schnitt nur der Vektor [mm] v=\vektor{0\\0} [/mm] enthalten.
2. Ist [mm] U+W=\IR^2?
[/mm]
Hier muß man überprüfen, ob man jeden Vektor aus dem [mm] \IR^2 [/mm] als Summe von einem aus U und einem aus W schreiben kann:
Sei [mm] v\in \IR^2. [/mm] Dann gibt es Zahlen [mm] a,b\in \IR [/mm] mit [mm] v=\vektor{a\\b}.
[/mm]
Jetzt überlegt man sich auf einem Schmierzettel, ob es [mm] r,t\in\IR [/mm] gibt, so daß [mm] \vektor{a\\b}=\vektor{r\\2r}+\vektor{3t\\0}.
[/mm]
Ergebnis meiner Überlegungen: ja, gibt es!
Mit [mm] r=\bruch{b}{2} [/mm] und [mm] t=\bruch{a}{3}-\bruch{b}{6} [/mm] bekommt man nämlich
[mm] \vektor{a\\b}=\vektor{1*\bruch{b}{2}\\2*\bruch{b}{2}}+\vektor{3*[\bruch{a}{3}-\bruch{b}{6}]\\0}.
[/mm]
B.
Mal ein Beispiel für einen Schnitt, der mehr als nur den Nullvektor enthält:
Sei [mm] U:=\{\pmat{x\\2x}|x\in\IR}, W:=\{\pmat{3x\\6x}|x\in\IR\}.
[/mm]
Nichtsahnend starte ich wie oben:
Sei [mm] v\in U\cap [/mm] W.
Dann ist [mm] v\in [/mm] U und [mm] v\in [/mm] W.
Also gibt es eine Zahl [mm] r\in\IR [/mm] , so daß [mm] v=\pmat{r\\2r},
[/mm]
und eine Zahl [mm] t\in \IR, [/mm] so daß [mm] v=\pmat{3t\\6t}.
[/mm]
Somit ist [mm] \pmat{r\\2r}=\pmat{3t\\6t},
[/mm]
also
r=3t
2r=6t
<==>
r=3t
0=0
Aha. Das LGS hat unendlich viele Lösungen!
Damit liegt mehr als der Nullvektor im Schnitt, z.B. liegt zusätzlich der Vektor [mm] \vektor{15\\30} [/mm] im Schnitt, denn es ist
[mm] \vektor{15\\30}=\vektor{1*15\\2*15} [/mm] und [mm] \vektor{15\\30}=\vektor{3*5\\6*5}.
[/mm]
Und nur diese letzte Erkenntnis müßtest Du aufschreiben, also diesen Vektor angeben, der nict der Nullvektor ist, aber im Schnitt liegt.
C.
Jetzt schauen wir ein Beispiel an, in welchem die Summe gar nicht den gewünschten Raum ergibt.
Sei [mm] U:=\{\pmat{x\\2x}|x\in\IR}, W:=\{\pmat{3x\\6x}|x\in\IR\}.
[/mm]
Frage: ist [mm] U+V=\IR^2?
[/mm]
Kann man also jeden Vektor aus [mm] \IR^2 [/mm] schreiben als Summe eines Vektors aus U und eines aus W?
Das klappt hier nicht, denn [mm] \vektor{1\\0} [/mm] kann man nicht so schreiben:
sei [mm] \vektor{1\\0}=\pmat{r\\2r}+\pmat{3t\\6t}.
[/mm]
<==>
1=r+3t
0=2r+6t
<==>
1=r+3t
2=0
Widerspruch! Also gibt es keine r,t mit [mm] \vektor{1\\0}=\pmat{r\\2r}+\pmat{3t\\6t}.
[/mm]
LG Angela
> Vielen, vielen Dank!
> b) Es gilt U ⊕W = C2, wobei U [mm]=\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}λ[/mm]
> : λ ∈C und W = [mm]\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> λ : λ ∈C
>
>
>
> c) Es gilt R2 = {0} ⊕ R2.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 17.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Vielen Dank! Das hat wirklich sehr geholfen!! Ich habe die 3 Aufgaben aufgeschrieben, stimmt das so? Bei b) bin ich mir nicht sicher..
Also zu a)
z.Z.: 1) U [mm] \cap [/mm] W = {0}
sei v [mm] \in\ [/mm] U und W
dann existiert r [mm] \in\ \IR, [/mm] so dass:
v = [mm] \begin{pmatrix} r \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
und es existiert ein t [mm] \in\ \IR [/mm] , so dass
v = [mm] \begin{pmatrix} 2t \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Daraus folgt:
r = 2t
0 = 0
womit z.B. auch der Vektor
[mm] \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
im Schnitt enthalten wäre.
Ausserdem ist die zweite Bedingung nicht erfüllt, da
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \in\ \IR
[/mm]
aber nicht durch U und W darstellbar, da sonst der Widerspruch 1 = 0 im Gleichungssystem.
b)
z.Z. 1) U [mm] \cap [/mm] W = {0}
sei v [mm] \in\ [/mm] U, W
dann existiert ein r mit
v = [mm] \begin{pmatrix} r \\ i*r \end{pmatrix}
[/mm]
und ein t mit
v = [mm] \begin{pmatrix} it \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} r \\ ir \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} it \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
Also:
r = it
ir = t
dann wäre i*i*t = t, das heisst -t = t und damit muss t = r = 0 sein
also ist der Schnitt = {0}
Und bei der 2. Bedingung bin ich mir nicht sicher:
[mm] \begin{pmatrix} it \\ t \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} r \\ i*r \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} r \\ t \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} it \\ ir \end{pmatrix}
[/mm]
wobei, r und t [mm] \in\ \IR
[/mm]
und damit müsste das ja jeder Vektor in C2 darstellbar sein oder?
c)
der Schnitt ist in jedem Fall 0,
da nur der Nullvektor im ersten Untervektorraum ist und
da 0 [mm] \in\ \IR^2
[/mm]
wenn
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in\ \IR^2 [/mm] ,
dann
ist [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] ebenfalls [mm] \in\ \IR^2
[/mm]
und damit gilt [mm] \IR^2 [/mm] ist die direkte Summe aus {0} und [mm] \IR^2
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe!!
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank! Das hat wirklich sehr geholfen!! Ich habe die
> 3 Aufgaben aufgeschrieben, stimmt das so? Bei b) bin ich
> mir nicht sicher..
>
> Also zu a)
>
> z.Z.: 1) U [mm]\cap[/mm] W = {0}
>
> sei v [mm]\in\[/mm] U und W
>
> dann existiert r [mm]\in\ \IR,[/mm] so dass:
>
> v = [mm]\begin{pmatrix} r \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und es existiert ein t [mm]\in\ \IR[/mm] , so dass
>
> v = [mm]\begin{pmatrix} 2t \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Daraus folgt:
> r = 2t
> 0 = 0
>
> womit z.B. auch der Vektor
> [mm]\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> im Schnitt enthalten
> wäre.
>
> Ausserdem ist die zweite Bedingung nicht erfüllt, da
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \in\ \IR[/mm]
>
> aber nicht durch U und W darstellbar, da sonst der
> Widerspruch 1 = 0 im Gleichungssystem.
Hallo,
ja, das hast Du jetzt verstanden.
>
>
> b)
Es gilt U ⊕W = C2, wobei U $ [mm] =\{\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \lambda : \lambda\in C\} [/mm] $ und W $ [mm] =\{\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} \lambda : \lambda\in C \} [/mm] $
>
> z.Z. 1) U [mm]\cap[/mm] W = {0}
> sei v [mm]\in\[/mm] U, W
> dann existiert ein [mm] r\red{\in\IC} [/mm] mit
> v = [mm]\begin{pmatrix} r \\ i*r \end{pmatrix}[/mm]
>
> und ein [mm] t\red{\in\IC} [/mm] mit
>
> v = [mm]\begin{pmatrix} it \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} r \\ ir \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} it \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
> Also:
> r = it
> ir = t
>
> dann wäre i*i*t = t, das heisst -t = t und damit muss t =
> r = 0 sein
>
> also ist der Schnitt = {0}
Ja - wobei Dir klar sein sollte, daß die 0 hier für den Vektor [mm] \vektor{0\\0} [/mm] steht.
>
> Und bei der 2. Bedingung bin ich mir nicht sicher:
> [mm]\begin{pmatrix} it \\ t \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} r \\ i*r \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} r \\ t \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} it \\ ir \end{pmatrix}[/mm]
>
> wobei, r und t [mm]\in\ \IR[/mm]
>
> und damit müsste das ja jeder Vektor in C2 darstellbar
> sein oder?
Bewiesen ist es damit noch nicht. Wenn ich da drauf schaue, bekomme ich erstmal ganz arge Zweifel, ob ich wirklich den [mm] Vektor{5+8i\\3+10i} [/mm] so schreiben kann.
Mit [mm] r,t\in \IR [/mm] würde es in der Tat nicht klappen.
Hier soll aber der [mm] \IC^2 [/mm] als VR über dem Körper [mm] \IC [/mm] betrachtet werden - daher gibt es noch eine Chance.
Du mußt v o r r e c h n e n,
wie man jeden beliebigen Vektor [mm] \vektor{a\\b}\in\IC [/mm] als
[mm] \begin{pmatrix} i \\ t \end{pmatrix}*t+\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}*r
[/mm]
schreiben kann,
Du mußt also r,t angeben, so daß es klappt, daß [mm] \vektor{a\\b} [/mm] herauskommt.
Dazu ist (auf einem Schmierzettel die Gleichung [mm] \begin{pmatrix} i \\ t \end{pmatrix}*t+\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}*r=\vektor{a\\b} [/mm] so zu lösen, daß Du r und t in Abhängigkeit von a und b erhältst.
>
>
> c)
>
Es gilt [mm] \IR^2 [/mm] = [mm] \{0}\oplus\IR^2
[/mm]
> der Schnitt ist in jedem Fall 0,
> da nur der Nullvektor im ersten Untervektorraum ist und
> da 0 [mm]\in\ \IR^2[/mm]
Ja.
>
> wenn
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in\ \IR^2[/mm] ,
> dann
> ist [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
> ebenfalls [mm]\in\ \IR^2[/mm]
Du meinst das richtig, allerdings stimmt die Argumentation nicht.
So geht's:
Sei [mm] \vektor{x\\y} \in\IR^2.
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{x\\y}=\vektor{0\\0}+\vektor{x\\y},
[/mm]
also ist [mm] \vektor{x\\y}\in \{0}\oplus\IR^2.
[/mm]
>
> und damit gilt [mm]\IR^2[/mm] ist die direkte Summe aus {0} und
> [mm]\IR^2[/mm]
Genau.
LG Angela
>
> Vielen Dank für die Hilfe!!
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 18.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Hallo!
vielen Dank!!
ich bekomme als
r = (a-ib)/2
und als t = (b-ia)/2
ich weiss nur damit wieder nicht recht weiter.. r,t wären damit ja komlexe Zahlen, wie verlangt und damit wäre die Gleichung so erfüllt?
|
|
|
| |
|
> Hallo!
> vielen Dank!!
> ich bekomme als
> r = (a-ib)/2
> und als t = (b-ia)/2
>
> ich weiss nur damit wieder nicht recht weiter.. r,t wären
> damit ja komlexe Zahlen, wie verlangt und damit wäre die
> Gleichung so erfüllt?
Hallo,
Deine Berechnung bis hierher kann auf dem Schmierzettel bleiben.
Du präsentierst nun stolz:
sei [mm] \vektor{a\\b}\in\IC^2.
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{a\\b}=\vektor{1\\i}* (a-ib)/2+\vektor{i\\1}*(b-ia)/2,
[/mm]
also ist [mm] \vektor{a\\b}\in [/mm] U+W.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Sa 18.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Vielen Dank für die grosse Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Sa 18.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich würde gerne nochmals nachhaken zur Rekapitulation:
Zur Aufgabe: Es gilt U ⊕W = R2, wobei U = [mm] \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] : x ∈R und W [mm] =\begin{pmatrix} 2x \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] : x ∈R.
Was bedeutet das ⊕, und ist x [mm] \in [/mm] IR jeweile derselbe Skalar bezüglich U / bezüglich W, also
z.B. für x = 1 => [mm] \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \in [/mm] U => [mm] \vektor{2\\0} \in [/mm] W ?
Viele Grüße,
X3nion
|
|
|
| |
|
> Hallo zusammen!
>
> Ich würde gerne nochmals nachhaken zur Rekapitulation:
>
> Zur Aufgabe: Es gilt U ⊕W = $ [mm] \IR^2, [/mm] $ wobei U $ [mm] =\{ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} : x \in\IR\}und [/mm] $ W $ [mm] =\{\begin{pmatrix} 2x \\ 0 \end{pmatrix}: x \in\IR\} [/mm] $
Guten Morgen,
das soll man beweisen oder widerlegen.
>
> Was bedeutet das ⊕,
[mm] U\oplus W=\IR^2 [/mm] bedeutet,
daß [mm] \IR^2=U+W [/mm] mit [mm] U\cap W=\{0_{\IR^2}\}.
[/mm]
> und ist x [mm]\in[/mm] IR jeweile derselbe
> Skalar bezüglich U / bezüglich W, also
> z.B. für x = 1 => [mm]\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \in[/mm]
> U => [mm]\vektor{2\\0} \in[/mm] W ?
Nein.
In U sind alle Vektoren u, für die man ein irgendein [mm] x\in \IR [/mm] findet mit [mm] u=\vektor{x\\0},
[/mm]
in W sind alle Vektoren w, für die man ein irgendein [mm] x\in \IR [/mm] findet mit [mm] w=\vektor{2x\\0}.
[/mm]
Wenn ich nun prüfen möchte, ob der Vektor [mm] \vektor{\wurzel{5}\\0} [/mm] in U liegt, muß ich schauen, ob ich eine Zahl x finde mit [mm] \vektor{x\\0}=\vektor{\wurzel{5}\\0}. [/mm] Offenbar finde ich eine.
Will ich wissen, ob er auch in W liegt, muß ich nachrechnen,ob ich eine Zahl x finde mit [mm] \vektor{2x\\0}=\vektor{\wurzel{5}\\0}. [/mm] Auch hier werde ich fündig mit [mm] x=\bruch{\wurzel{5}}{2}.
[/mm]
In beiden Mengen sind dieselben Vektoren.
Beide beschreiben die x-Achse des Koordinatensystems.
LG Angela
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mi 22.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Angela und Dankeschön für deine Antwort!
Heißt dann U [mm] \oplus [/mm] W, dass der Vektorraum U verknüpft wird mit dem Vektorraum W?
Gruß X3nion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 22.03.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich ist es einfach der Span [mm] {(1,0)^T,(2,0)^T}
[/mm]
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 22.03.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela und Dankeschön für deine Antwort!
>
> Heißt dann U [mm]\oplus[/mm] W, dass der Vektorraum U verknüpft
> wird mit dem Vektorraum W?
Definitionen !!
$U +W [mm] =\{u+w:u \in U, w \in W\}$
[/mm]
Für diese Summe schriebt man $U [mm] \oplus [/mm] W$, falls $U [mm] \cap W=\{0\}$
[/mm]
>
> Gruß X3nion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mi 22.03.2017 | | Autor: | X3nion |
> Definitionen !!
>
> [mm]U +W =\{u+w:u \in U, w \in W\}[/mm]
>
> Für diese Summe schriebt man [mm]U \oplus W[/mm], falls [mm]U \cap W=\{0\}[/mm]
>
>
> >
> > Gruß X3nion
Okay dokay, in Lineare Algebra muss ich mich erst noch detailliert einarbeiten.
Wollte nur fragen nach welchem Begriff ich suchen muss, hat mir da jemand ein Stichwort? 
Viele Grüße,
X3nion
>
|
|
|
|
