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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 03.12.2008 | | Autor: | an.mathe |
| Aufgabe | In den vergangenen Jahren bekam ein Autofahrer im Durchschnitt 2 Strafzettel pro Jahr. (Annahme: pro Tag max. 1 Strafzettel und Wahrscheinlichleit dafür an jedem Tag gleich, 365 Tage)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein zufällig ausgewählter Fahrer in diem Jahr mind. 2 Stafzettel? Berechnung mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes (de Moivre/Laplace) |
Zunächst einmal ist hier ja X= Anzahl der Stafzettel/ Jahr
daraus folgt X~B(n,p)=B(365,2/365)
Nun weiß ich aber nicht so wirklich weiter, ich habe P schon wie folgt gesetzt und komme auf kein Ergebnis:
P(x=2) oder P(2 größer gleich x größer gleich 365) und P(1 größer gleich x größer gleich 2).
ich bin zwar der meinung das es nur P(x größer gleich 2) sein muss aber wie endet das intervall bzw wenn es kein ende gibt wie berechne ich dann mit hilfe des Grenzwertsatzes von laplace das ganze???
Anmerkung: müsste iregndwas um die 60 Prozent sein...
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Mi 03.12.2008 | | Autor: | an.mathe |
hat keiner eine idee? ich meine die rechnung ist nicht das problem. aber wie schon gesagt der intervall. der mir ja auch zeigt welche gleichung ich nehmen muss...
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Guten Abend
also sei X die Zufallsvariable, die zählt wieviele Strafzettel der Mann im Jahr bekommt. Was du jetzt Ausrechnen sollst ist $P(X [mm] \ge [/mm] 2)$, wobei dein X binomialverteilt mit [mm] $B(365,\bruch{1}{365})$ [/mm] verteilt ist(Man betrachtet nur ein Jahr und mehr als 365 pro Tag kann er ja nicht bekommen). Nun sagt dir der Zentrale Grenzwertsatz ja, dass wenn man die absoluten Häufigkeiten am Erwartungswert zentriert und dann noch an der Standardabweichung normiert, dass das dann, wenn man das in festen Grenzen betrachtet gegen die gaussche Glockenkurve geht(ich hoffe das ist ein bisschen verständlich^^). In zeichen
[mm] \summe_{\{k \in \N_{0}| a < \bruch{k-np}{\wurzel{np(1-p)}}\}\le b}\vektor{n\\k}p^k\cdot (1-p)^{n-k} \rightarrow \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{a}^{b}{e^{-\bruch{t^2}{2}} dt}. [/mm] Jetzt weißt du das deine Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X\ge [/mm] 2)$ ja [mm] $1-P(X\le [/mm] 1)$ ist. So jetzt musst du nur noch dein $a$ und dein $b$ ausrechnen. Wie machst du das?. Also erst den Erwartungswert ausrechnen, dann die Standardabweichung ausrechnen. Dann einsetzten und nach $k$ umbauen(Damit beziehe ich mich auf den Summationsindex). Beachte dabei, das er mindestens 0 Strafzettel pro Jahr bekommt. So kannst du dann dein $a$ und $b$ ausrechnen. Dann das Integral lösen. Allerdings kann man hier auch gut von Hand ausrechnen, was rauskommt.(Was du zur Kontrolle auch mal machen solltest)
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 05.12.2008 | | Autor: | an.mathe |
das hört sich kompliziert an... so richtig verstehe ich noch nicht wieso ich das so rechnen muss. denn ich soll es durch de moivre/laplace berechnen und das ist doch eine andere formel oder sehe ich das falsch???
danke und beste grüße
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Hallo,
> das hört sich kompliziert an... so richtig verstehe ich
> noch nicht wieso ich das so rechnen muss. denn ich soll es
> durch de moivre/laplace berechnen und das ist doch eine
> andere formel oder sehe ich das falsch???
>
> danke und beste grüße
Du schriebst mir doch gestern, dass Du meine gestrige Antwort einmal überprüfen wolltest. Was war denn das Resultat der Überprüfung? Was steht denn in deinem Skript dazu (Binomialverteilung [mm] \rightarrow [/mm] Normalverteilung)
$P(2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 365) = [mm] \sum_{k=2}^{365}{365 \choose n}*\left(\bruch{2}{365} \right)^{k}*\left(\bruch{363}{365} \right)^{365-k}$
[/mm]
Näherung durch eine Standardnormalverteilung:
[mm] $\mu [/mm] = [mm] n*p=365*\bruch{2}{365}=2$
[/mm]
[mm] $\sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n*p*(1-p)}=\wurzel{365*\bruch{2}{365}*\bruch{363}{365}}\approx1,4103368$
[/mm]
[mm] $\bruch{2-\mu}{\sigma}\le [/mm] U [mm] \le \bruch{365-\mu}{\sigma}$
[/mm]
Das ist de facto die Hälfte des Flächeninhaltes unter der Standardnormalverteilung.
[mm] P(2\le X\le365) [/mm] = 0,5
LG, Martinius
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