cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2) < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mo 19.03.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen sie die Lösungen der Gleichung
[mm] cos^2({x - \bruch{\pi}{2}}) [/mm] + [mm] sin^2({x - \bruch{\pi}{2}}) [/mm] = 1 |
Moin Moin,
hier fehlt mir eine Idee. Kann jemand weiterhelfen?
Ich könnte z.B. x - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] durch z substituieren; frage mich nur, was mir das bringt.
Ich denke daran, Sinus durch Kosinus zu ersetzen; frage mich nur, was das bringen könnte.
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mo 19.03.2018 | | Autor: | Fulla |
Hallo hase-hh,
bist du dir sicher, dass das die richtige Aufgabenstellung ist?
So, wie sie da steht, ist die Aufgabe eher unspannend, da
[mm]\sin^2 z + \cos^2 z =1 \quad\forall z\in\mathbb C[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mo 19.03.2018 | | Autor: | hase-hh |
Es ist richtig, es geht um komplexe Zahlen bzw. um Lösungen in [mm] \IC, [/mm] falls das deine Frage war?!
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Hiho,
> Es ist richtig, es geht um komplexe Zahlen bzw. um
> Lösungen in [mm]\IC,[/mm] falls das deine Frage war?!
die Frage war, ob die Aufgabe wirklich so gestellt wurde, weil sie recht trivial ist.
Um Fullas Antwort nochmal zu wiederholen: Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt [mm] $\sin^2(z) [/mm] + [mm] \cos^2(z) [/mm] = 1$.
Insbesondere gilt also für alle $x [mm] \in \IC: \sin^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) [/mm] + [mm] \cos^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) [/mm] = 1$
Damit wäre die Antwort auf deine Frage: Die Gleichung gilt für alle $x [mm] \in \IC$.
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 19.03.2018 | | Autor: | hase-hh |
Aha, vielen Dank!
Ok, und wie kann ich diese Lösungen berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 19.03.2018 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
Nachrechnen, dass die Gleichung für alle komplexen Zahlen wahr ist, kannst du z.B. indem zu erstmal [mm]z:=x-\frac\pi 2[/mm] substituierst, dann [mm]z=x+iy[/mm] identifizierst und [mm]\sin z=\sin(x+iy)=\sin x \cosh y+ i\cos x \sinh y[/mm] bzw [mm]\cos z=\cos(x+iy)=\cos x \cosh y - i\sin x \sinh y[/mm] verwendest.
Forme dazu [mm] $\sin^2 [/mm] z + [mm] \cos^2 [/mm] z = [mm] \ldots [/mm] $ um.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 19.03.2018 | | Autor: | hase-hh |
Also:
z = x - [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] cos^2(z) [/mm] + [mm] sin^2 [/mm] (z) = 1
z = a + bi
[mm] cos^2(a+bi) [/mm] + [mm] sin^2(a+bi) [/mm] = 1
( cos(a)*cosh(b) - i*sin(a)*sinh(b) [mm] )^2 [/mm] + ( sin(a)*cosh(b) + i*cos(a)*sinh(b) [mm] )^2 [/mm] = 1
[mm] cos^2(a)*cosh^2(b) [/mm] -2*i*cos(a)*cosh(b)*sin(a)*sinh(b) [mm] +i^2*sin^2(a)*sinh^2(b) [/mm] + [mm] sin^2(a)*cosh^2(b) [/mm] +2*i*sin(a)*cosh(b)*cos(a)*sinh(b) [mm] +i^2*cos^2(a)*sinh^2(b) [/mm] = 1
[mm] cos^2(a)*cosh^2(b) [/mm] -2*i*cos(a)*cosh(b)*sin(a)*sinh(b) [mm] -sin^2(a)*sinh^2(b) [/mm] + [mm] sin^2(a)*cosh^2(b) [/mm] +2*i*sin(a)*cosh(b)*cos(a)*sinh(b) [mm] -cos^2(a)*sinh^2(b) [/mm] = 1
[mm] cos^2(a)*cosh^2(b) -sin^2(a)*sinh^2(b) [/mm] + [mm] sin^2(a)*cosh^2(b) -cos^2(a)*sinh^2(b) [/mm] = 1
Ich weiss nicht, ob es weiterführt. Ich könnte [mm] cos^2(a) [/mm] ausklammern und da
[mm] cosh^2(w) [/mm] - [mm] sinh^2(w) [/mm] = 1 vereinfachen...
sowie [mm] sin^2(a)
[/mm]
[mm] cos^2(a)*[cosh^2(b) -sinh^2(b)] [/mm] + [mm] sin^2(a)*[-sinh^2(b) [/mm] + [mm] cosh^2(b)] [/mm] = 1
[mm] cos^2(a)*[1] [/mm] + [mm] sin^2(a)*[1] [/mm] = 1
Stimmt das?
Und bin ich jetzt nicht wieder am Anfang?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:34 Di 20.03.2018 | | Autor: | Fulla |
Hallo hase,
diese Rechnung läuft darauf hinaus, dass du mehrfach [mm]\sin^2 a +\cos^2 a=1[/mm] und [mm]\cosh^2 a - \sinh^2 a=1[/mm] verwendest.
Du bist ja so vorgegangen, dass du die Gleichung an sich umgeformt hast. Am Ende kommst du auf [mm]\cos^2(a)*[1] + \sin^2(a)*[1] = 1[/mm], wobei du die [1] auch weglassen kannst.
Nach dem trigonometrischen Pythagoras steht da dann [mm]1=1[/mm]. Das ist eine wahre Aussage.
Ausgegangen bist du aber von beliebigen [mm]x,y\in\mathbb R[/mm] mit [mm]z=x+iy=\hat x -\frac\pi 2[/mm], wobei das [mm]\hat x[/mm] das [mm]x[/mm] aus deiner ursprünglichen Aufgabenstellung ist.
Das heißt, egal was du für x und y einsetzt, die Gleichung ist immer wahr (egal, was x und y sind, es folgt immer [mm]1=1[/mm]).
Damit hast du gezeigt, dass die Gleichung aus deiner Ausgangsfrage allgemeingütlig ist. Für den Beweis könntest du noch darauf eingehen, dass im Orginal [mm]x-\frac\pi 2[/mm] steht und erklären, warum das eigentlich völlig egal ist. Aber im Prinzip bist du damit fertig.
Liebe Grüße,
Fulla
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