bestimmtes Integral lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mi 08.07.2009 | | Autor: | SIRprise |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^{2}+2x+2}} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Aufgabe mit wolframalpha durchrechnen lassen, aber ich komme immer auf ein anderes Ergebnis. Angeblich soll man es schaffen indem man den Inhalte der Wurzel substituiert - da bin ich aber auch noch nicht so sattelfest bzw. ich weiß einfach nicht wo der Fehler liegt und kann daher auch nicht sagen ob ich richtig substituiert habe. Das Ergebnis ist wohl 1,74..., da dafür aber keine Zwischenschritte angezeigt wurden habe ich aus dem bestimmten Integral mal ein unbestimmtes gemacht und mir die Schritte anzeigen lassen - aber wenn ich in dem unbestimmten so tue als wäre es bestimmt gewesen und die grenzen einsetze, dann kommt trotzdem was anderes heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 08.07.2009 | | Autor: | SIRprise |
sorry - habe die Grenzen vergessen: 0 bis 2
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Die Ableitung des Radikanden ergibt ja bis auf einen konstanten Faktor genau den Zähler. Also ist der Vorschlag, den Radikanden zu substituieren genau der richtige. Und das Integral vereinfacht sich radikal. Der Integralwert ist [mm]\sqrt{10} - \sqrt{2}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 08.07.2009 | | Autor: | SIRprise |
ah danke! diese wurzeln kommen in meinen versuchs-rechnungen vor.
ich bin bisher so vorgegangen
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2\wurzel{t}} dt}
[/mm]
dann resubstituiert
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2\wurzel{x^2+2x+2}} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{\wurzel{x^2+2x+2}} dx}
[/mm]
die Stammfunktion ist bei mir (bin mir aber unsicher)
[mm] \bruch{1}{2}*[\bruch{1}{2}\wurzel{x^2+2x+2}] [/mm] (von 0 bis 2)
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> ah danke! diese wurzeln kommen in meinen
> versuchs-rechnungen vor.
> ich bin bisher so vorgegangen
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2\wurzel{t}} dt}[/mm]
das ist quasi noch richtig, obwohl man noch dranschreiben müsste, dass das die grenzen von x sind, und nicht von t!
> dann
> resubstituiert
warum?
[mm] \frac{1}{2}\integral_{x=0}^{x=2}{\frac{1}{\sqrt{z}}dz}=\frac{1}{2}*\integral_{x=0}^{x=2}{z^{-\frac{1}{2}}} [/mm] das solltest du nun spielend integrieren können! exponent um 1 erhöhen, und durch den neuen exponenten teilen!
danach entweder resubstituieren oder direkt am anfang die grenzen mitsubstituieren
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2\wurzel{x^2+2x+2}} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{\wurzel{x^2+2x+2}} dx}[/mm]
>
> die Stammfunktion ist bei mir (bin mir aber unsicher)
> [mm]\bruch{1}{2}*[\bruch{1}{2}\wurzel{x^2+2x+2}][/mm] (von 0 bis 2)
du substituierst hin und zurück, und simsalabim ist der zähler weg? schwarze magie... oder einfach blanker unsinn...
und die stammfunktion sieht anders aus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mi 08.07.2009 | | Autor: | SIRprise |
ok, ich probiere es gleich nochmal.
bin nur momentan bissl verwirrt mit dem substituieren...
das heißt wohl ich bilde einfach die stammfunktion mit dem substituierten, als wäre es ein unbestimmtes integral aber ohne c und dann schau ich mal mit dem resubstituieren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fencheltee |
> ok, ich probiere es gleich nochmal.
> bin nur momentan bissl verwirrt mit dem substituieren...
> das heißt wohl ich bilde einfach die stammfunktion mit
> dem substituierten, als wäre es ein unbestimmtes integral
> aber ohne c und dann schau ich mal mit dem
> resubstituieren...
quasi. oder du substituierst die grenzen mit. [mm] z=x^2+2x+2
[/mm]
obere grenze [mm] x_o=2 [/mm] einsetzen: [mm] z_o=2^2+2*2+2=10
[/mm]
untere grenze [mm] x_u=0 [/mm] einsetzen: [mm] z_u=0^2+2*0+2=2 [/mm] und kannst dann quasi direkt alles berechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 08.07.2009 | | Autor: | SIRprise |
ok, das mit den veränderten grenzen habe ich mich gerade schlau gemacht. netter trick! funktioniert der immer?
also laut taschenrechner komm ich damit aufs gleiche resultat. und ich glaube ich weiß jetzt auch meinen denkfehler mit diesen brüchen die mir die ergebnisse futsch machen. stammfunktion von [mm] 1/x^{-(1/2)} [/mm] ist doch [mm] 2*x^{1/2} [/mm] und nicht [mm] (1/2)*x^{1/2} [/mm] wie ich eben dachte, oder?
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> ok, das mit den veränderten grenzen habe ich mich gerade
> schlau gemacht. netter trick! funktioniert der immer?
> also laut taschenrechner komm ich damit aufs gleiche
> resultat. und ich glaube ich weiß jetzt auch meinen
> denkfehler mit diesen brüchen die mir die ergebnisse
> futsch machen. stammfunktion von [mm]1/x^{-(1/2)}[/mm] ist doch
> [mm]2*x^{1/2}[/mm] und nicht [mm](1/2)*x^{1/2}[/mm] wie ich eben dachte,
> oder?
ja [mm] \integral_{a}^{b}{x^{-\frac{1}{2}}dx} [/mm] ist [mm] \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=2*x^{\frac{1}{2}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mi 08.07.2009 | | Autor: | SIRprise |
es ist sehr lange her, dass ich mich das letzte Mal an euch gewendet habe und bin überrascht wie toll das hier funktioniert wenn man einmal Hilfe braucht! Danke! 
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