a^k+1 Vielfaches von a+1 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich bin gerade dabei zu beweisen, dass falls [mm] a^k+1 [/mm] prim ist, dann muss a gerade und k eine 2er Potenz sein. |
Den 1.Teil habe ich bereits zeigen können, beim 2.bräuchte ich noch das Zwischenresultat, dass [mm] a^k+1 [/mm] ein Vielfaches von a+1 ist.
Induktionsschritt klappt bei mir nicht, vielleicht hat jemand eine Idee.
Ich denke, dass es nur mit Induktion geht, da sich a+1 nicht herausheben lässt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 20.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich bin gerade dabei zu beweisen, dass falls [mm]a^k+1[/mm] prim
> ist, dann muss a gerade und k eine 2er Potenz sein.
>
> Den 1.Teil habe ich bereits zeigen können, beim
> 2.bräuchte ich noch das Zwischenresultat, dass [mm]a^k+1[/mm] ein
> Vielfaches von a+1 ist.
>
> Induktionsschritt klappt bei mir nicht, vielleicht hat
> jemand eine Idee.
>
> Ich denke, dass es nur mit Induktion geht, da sich a+1
> nicht herausheben lässt.
Es gibt keine Idee, da es im Allgemeinen nicht stimmt. Das [mm] $a^k [/mm] + 1$ durch $a + 1$ teilbar ist, bedeutet ja, dass [mm] $a^k \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{a + 1}$ [/mm] ist. Wegen $a [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{a + 1}$ [/mm] steht da also [mm] $(-1)^k \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{a + 1}$. [/mm] Dies ist genau dann der Fall, wenn $a + 1 = 1$ ist, oder wenn $k$ ungerade ist.
Wenn also $a > 0$ ist, dann geht es nur, falls $k$ ungerade ist.
LG Felix
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Danke für deine Antwort, vielleicht könntest du mir noch bei der Vervollständigung des Satzes helfen, dass wenn [mm] a^k+1 [/mm] prim mit [mm] a,k\in\IN [/mm] ohne [mm] \{0\} [/mm] dann muss a gerade und k eine 2er Potenz sein.
Das a gerade sein muss, habe ich bereits bewiesen.
Nun zur 2.Aussage:
Ang.: k=x*y mit [mm] x\in\IP [/mm] ohne 2 und [mm] y\in\IN [/mm] ohne 0
=> [mm] a^k+1=a^{xy}+1=(a^{x})^{y}+1 [/mm] =>(Nach vorigem Beweis)
[mm] a^x+1\| a^{xy}+1 [/mm] genau dann wenn y ungerade.
Wie erhalte nun daraus die Behauptung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 20.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für deine Antwort, vielleicht könntest du mir noch
> bei der Vervollständigung des Satzes helfen, dass wenn
> [mm]a^k+1[/mm] prim mit [mm]a,k\in\IN[/mm] ohne [mm]\{0\}[/mm] dann muss a gerade und
> k eine 2er Potenz sein.
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> Das a gerade sein muss, habe ich bereits bewiesen.
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> Nun zur 2.Aussage:
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> Ang.: k=x*y mit [mm]x\in\IP[/mm] ohne 2 und [mm]y\in\IN[/mm] ohne 0
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> => [mm]a^k+1=a^{xy}+1=(a^{x})^{y}+1[/mm] =>(Nach vorigem Beweis)
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> [mm]a^x+1\| a^{xy}+1[/mm] genau dann wenn y ungerade.
Mach es doch umgekehrt. Aus dem obigen folgt [mm] $(a^y [/mm] + 1) [mm] \mid (a^{x y} [/mm] + 1)$, da $x > 1$ ungerade ist. Damit kann [mm] $a^{x y} [/mm] + 1$ nicht prim sein.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 So 20.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich bin gerade dabei zu beweisen, dass falls [mm]a^k+1[/mm] prim
> ist, dann muss a gerade und k eine 2er Potenz sein.
> Den 1.Teil habe ich bereits zeigen können, beim
> 2.bräuchte ich noch das Zwischenresultat, dass [mm]a^k+1[/mm] ein
> Vielfaches von a+1 ist.
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> Induktionsschritt klappt bei mir nicht, vielleicht hat
> jemand eine Idee.
>
> Ich denke, dass es nur mit Induktion geht, da sich a+1
> nicht herausheben lässt.
Hallo,
probiere mal die Partialdivision [mm] ($a^k$+1)/(a+1).
[/mm]
Sie funktioniert ohne Rest für ungerade k und liefert den Wert [mm] $a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-a^{k-4}+....$
[/mm]
Gruß Abakus
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