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Forum "Uni-Lineare Algebra" - affin-linear
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affin-linear: Begriffserklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Mi 24.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

Ich bin gerade auf das Wort "affin-linear" gestoßen und würde gerne wissen, was das genau bedeutet. Bei Wikipedia finde ich folgendes:

"Eine Funktion der Form f(x) = ax + b heißt affin-linear"

aber ist das nicht genau die Definition für eine "lineare Funktion"? Wo liegt dann der Unterschied zwischen linear und affin-linear?

Viele Grüße
Bastiane
[banane]


        
Bezug
affin-linear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Mi 24.08.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

In der Schule werden die Begriffe "linear" und "affin-linear" fälschlicherweise synomym verwendet.

Sind $V$ und $W$ ein $K$-Vektorräume, dann nennt man eine Funktion $f:V [mm] \to [/mm] W$ ($K$-)linear, wenn gilt:

$f(v+v') = f(v) + f(v')$ für alle $v,v' [mm] \in [/mm] V$,

[mm] $f(\lambda \cdot [/mm] v) = [mm] \lambda \cdot [/mm] f(v)$ für $v [mm] \in [/mm] V$, [mm] $\lambda \in [/mm] K$.

Man kann jetzt leicht

$f(0)=0$

folgern (versuche das doch mal).

Bei affin-linearen Funktionen, die nicht linear sind, gilt

$f(0) [mm] \ne [/mm] 0$.

Dann ist aber die Abbildung

$v [mm] \mapsto [/mm] f(v) - f(0)$

linear. Es gilt also:

$f(v) = f(0) + g(v)$

mit einer linearen Abbildung $g$.

Fasst man [mm] $\IR$ [/mm] als Vektorraum über sich selbst auf, so sind die affin-linearen Abbildungen $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] also genau die Funktionen, die in der Schule als "linear" bezeichnet werden.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
affin-linear: Danke.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Mi 24.08.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!

Danke für deine Erklärung. :-) Komisch, dass ich so etwas noch nie irgendwo gelesen habe, wo es doch sicher nicht ganz unwichtig ist...

> Man kann jetzt leicht
>  
> [mm]f(0)=0[/mm]
>  
> folgern (versuche das doch mal).

Habe ich gemacht, habe ich aber auch schon oft gesehen, wie man es macht und auch selber schon öfter mal gezeigt... ;-)

Viele Grüße
Christiane
[cap]


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