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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Äquivalenz von Aussagen
Äquivalenz von Aussagen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Äquivalenz von Aussagen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Sa 01.11.2014
Autor: Infinity95

Aufgabe
Es sei f: M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) f ist injektiv
(ii) Für alle [mm] A,B\subseteq [/mm] M gilt: [mm] f(A\cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
(iii) Für alle [mm] A\subseteq B\subseteq [/mm] M gilt: [mm] f(B\backslash [/mm] A) = f(B) [mm] \backslash [/mm] f(A)



Hallo, ich habe bis jetzt gezeigt, dass wenn (ii) gilt auch (iii) gelten muss und würde jetzt weiter zeigen, dass wenn (iii) gilt, auch (i) gelten muss und dann von (i) zu (ii) gehen. Allerdings stellt sich mir nun die Frage, wie ich von (i) zu (ii) komme. Wie muss ich da ran gehen? Ich bräuchte irgendwie einen Denkanstoß.

        
Bezug
Äquivalenz von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Sa 01.11.2014
Autor: fred97


> Es sei f: M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie die
> Äquivalenz der folgenden Aussagen:
>  (i) f ist injektiv
>  (ii) Für alle [mm]A,B\subseteqM[/mm] gilt: [mm]f(A\capB)[/mm] = f(A) [mm]\cap[/mm]

Im Quelltext sehe ich, dass (ii) so lautet:


(ii) Für alle [mm]A,B\subseteqM[/mm] gilt: [mm]f(A \cap B) = f(A)\cap f(B)[/mm]


>  (iii) Für alle [mm]A\subseteqB\subseteqM[/mm] gilt:
> [mm]f(B\backslashA)[/mm] = f(B) [mm]\backslash[/mm] f(A)
>  
> Hallo, ich habe bis jetzt gezeigt, dass wenn (ii) gilt auch
> (iii) gelten muss und würde jetzt weiter zeigen, dass wenn
> (iii) gilt, auch (i) gelten muss und dann von (i) zu (ii)
> gehen. Allerdings stellt sich mir nun die Frage, wie ich
> von (i) zu (ii) komme. Wie muss ich da ran gehen? Ich
> bräuchte irgendwie einen Denkanstoß.

1. Überlege Dir, dass immer (also ohne die Vor. f injektiv) gilt

f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B).

2. Zu zeigen ist also noch:  f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B).

Dazu nimm ein y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) her, nutze die Injektivität von f und zeige y [mm] \in [/mm]  f(A [mm] \cap [/mm] B).

FRED


Bezug
                
Bezug
Äquivalenz von Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mo 03.11.2014
Autor: Infinity95

OK jetzt fehlt mir nurnoch von (iii) auf (i). Ich bräuchte wieder einen Denkanstoß, da ich gerade auf dem Schlauch stehe.

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenz von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:43 Di 04.11.2014
Autor: angela.h.b.


> OK jetzt fehlt mir nurnoch von (iii) auf (i). Ich bräuchte
> wieder einen Denkanstoß, da ich gerade auf dem Schlauch
> stehe.

Hallo,

unter der Voraussetzung (iii) möchtest Du also zeigen:
wenn [mm] x\not=y, [/mm] dann folgt [mm] f(x)\not=f(y). [/mm]

Um den Bogen zu (iii) zu schlagen, müßte man eine Brücke bauen von x und y zu Mengen, die diese Elemente enthalten.
Man könnte mit [mm] \{x\}, \{y\}, \{x,y\} [/mm] arbeiten...

LG Angela
 

Bezug
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