Äquivalenz u. Ordnungsrelation < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | M ist eine nicht leere Menge und R C MxM eine Relation welche eine Äquivalenz sowie Ordnungsrelation ist.
Es gilt zu zeigen : Es gibt eine solche Relation R und zeigen Sie aus welchen Elementen R besteht |
Hallo.
Kann ich mir aus der nicht leeren Menge M irgendeine Menge bauen um es zu zeigen ? zb. M ={1,2,3,4,5}. Oder muss ich das allgemeiner halten da die Menge lediglich als nicht leer angegeben ist ?
Ansonsten würde ich anfangen zu sagen
Es sei : x,y,z [mm] \in [/mm] M.
Ordnungsrelation :
Reflexivität : Für alle x [mm] \in [/mm] M : xRx
Antisymmetrie : Für alle x,y [mm] \in [/mm] M : xRy, yRx [mm] \Rightarrow [/mm] x=y
Transitivität : Für alle x,y,z [mm] \in [/mm] M : xRy, yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRb
Es müssten für die Reflexivität dann in R enthalten sein (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)
Wie sähen meine Elemente denn dann bei der Antisymmetrie und bei der Transitivität aus ?
Liege ich auf dem richtigen Weg?
lg und vielen Dank schonmal
Micha
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:09 So 25.11.2012 | | Autor: | Coup |
Ich betrachte mir die Menge M = {1,2,3,4} sofern ich mir die frei wählen kann.
Dann stehen aufgrund meiner Reflexivität in R die Elemente = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Damit habe ich die Reflexivität abgehakt. Nun kann ich ja keine symmetrischen aufnehmen da ich dann aufgrund von a=b gegen die antisymmetrie verstoße.
Denn (1,2),(2,1) => a [mm] \not= [/mm] b
Wie soll ich dann zeigen, dass R Ordnungs- sowie Äquivalenzrelation sein kann ?
Ich stehe grad tierisch auf dem Schlauch
gruß
Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
> M ist eine nicht leere Menge und R C MxM eine Relation
> welche eine Äquivalenz sowie Ordnungsrelation ist.
> Es gilt zu zeigen : Es gibt eine solche Relation R und
> zeigen Sie aus welchen Elementen R besteht
> Hallo.
> Kann ich mir aus der nicht leeren Menge M irgendeine Menge
> bauen um es zu zeigen ? zb. M ={1,2,3,4,5}. Oder muss ich
> das allgemeiner halten da die Menge lediglich als nicht
> leer angegeben ist ?
>
> Ansonsten würde ich anfangen zu sagen
> Es sei : x,y,z [mm]\in[/mm] M.
>
> Ordnungsrelation :
> Reflexivität : Für alle x [mm]\in[/mm] M : xRx
> Antisymmetrie : Für alle x,y [mm]\in[/mm] M : xRy, yRx [mm]\Rightarrow[/mm]
> x=y
> Transitivität : Für alle x,y,z [mm]\in[/mm] M : xRy, yRz
> [mm]\Rightarrow[/mm] xRb
>
> Es müssten für die Reflexivität dann in R enthalten sein
> (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)
> Wie sähen meine Elemente denn dann bei der Antisymmetrie
> und bei der Transitivität aus ?
>
> Liege ich auf dem richtigen Weg?
>
> lg und vielen Dank schonmal
> Micha
Hallo Micha,
der Begriff "Ordnungsrelation" kann (je nach Zusammenhamg)
unterschiedliche Bedeutungen haben.
Aus ![[]](/images/popup.gif) Ordnungsrelation :
"In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen
der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer
Menge miteinander zu vergleichen."
....
....
"Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen
mit Beispielen."
In deiner Aufgabe sehe ich eigentlich nur eine "Quasiordnung".
Die ist definitionsgemäß reflexiv und transitiv. Damit
auch noch Symmetrie dazu kommt, müsste xRy für alle $\ [mm] (x,y)\in M\times [/mm] M$
gelten. So erhält man eine - nicht überaus interessante,
aber dafür sehr einfache Relation auf M. Sie ist dann
auf M auch eine (triviale) Äquivalenzrelation, denn sie
hat nur eine einzige Äquivalenzklasse, nämlich die
Menge M selbst.
LG, Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 25.11.2012 | | Autor: | Coup |
Vielen Dank für die Antwort.
Mit der Quasiordnung umgehe ich also das Problem der antisymmetrie sozusagen ?
Also würde mein R die reflexiven Elemente {(a [mm] <\sim [/mm] a),(b [mm] <\sim [/mm] b), (c [mm] <\sim [/mm] c), ( a [mm] <\sim [/mm] c), (a [mm] <\sim [/mm] b ) }
Hier habe ich dann 3 reflexive Elemente und 2 Transitive Elemente.
Ist das soweit richtig verstanden ?
Nun weis ich nicht wie ich deinen angesprochenen Punkt der Symmetrie ( Die eigene Menge M) mit einbauen soll.
lg
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für die Antwort.
> Mit der Quasiordnung umgehe ich also das Problem der
> antisymmetrie sozusagen ?
Man soll ja, wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe,
auf einer beliebigen (nicht leeren) Menge eine Relation
aufstellen, welche sowohl Äquivalenz- als auch Ordnungs-
relation ist. Da eine Äquivalenzrelation definitionsgemäss
symmetrisch sein muss, kommt also eine Halbordnung
oder gar eine strenge Ordnung gar nicht in Frage, da
diese ja antisymmetrisch sein müssten.
> Also würde mein R die reflexiven Elemente
$\ (a [mm] \preceq [/mm] a),(b [mm] \preceq [/mm] b), [mm] (c\preceq [/mm] c), ( a [mm] \preceq [/mm] c), [mm] (a\preceq [/mm] b ) $
> Hier habe ich dann 3 reflexive Elemente und 2 Transitive
> Elemente.
> Ist das soweit richtig verstanden ?
Es gibt keine "reflexiven" bzw. "transitiven" Elemente.
Reflexivität und Transitivität sind nicht Eigenschaften
einzelner Elemente, sondern Eigenschaften einer Relation.
LG
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Coup |
Dann ist mit diesen Elementen meine Relation Reflexiv und Transitiv.
Doch wie bekomme ich Symmetrie ? Ich habe das mit der Menge M selbst nicht verstanden. Wie baue ich das in meine Relation ?
Danke nochmal :)
Micha
|
|
|
| |
|
> Dann ist mit diesen Elementen meine Relation Reflexiv und
> Transitiv.
> Doch wie bekomme ich Symmetrie ? Ich habe das mit der
> Menge M selbst nicht verstanden. Wie baue ich das in meine
> Relation ?
>
> Danke nochmal :)
>
> Micha
Hi Micha,
die Lösung ist ja ganz einfach: Es gilt xRy für
jedes Paar $\ [mm] (x,y)\in M\times [/mm] M$ , also insbesondere
auch für (y,x) - d.h. wir haben Symmetrie !
Oder man kann in Mengennotation schreiben: [mm] R=M\times [/mm] M
Alle Elemente von M sind (für die Äquivalenz-
relation) in derselben, einzigen Äquivalenzklasse.
Auch für die "Quasi"-Ordnung sind alle Elemente
auf derselben Stufe: keines ist "größer" als irgendein
anderes.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
