www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - ab^p - ba^p mod 6p = 0
ab^p - ba^p mod 6p = 0 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

ab^p - ba^p mod 6p = 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Mo 07.11.2016
Autor: MarcHe

Aufgabe
Sei p > 3. Zeige, dass [mm] $ab^{p}-ba^{p}\equiv [/mm] 0 (mod 6p)$.

Hallo,

hier mein Lösungsvorschlag: Da $ggT(2,3,p) = 0$ kann ich folgende drei Kongruenzen überprüfen:

1. [mm] $ab^{p}-ba^{p}\equiv ab(b^{p-1}-a^{p-1})\equiv [/mm] 0 (mod 2)$: Wenn $2|a$ oder $2|b$ dann fertig. Wenn nicht, folgt [mm] $(2n+1)^{p-1}\equiv (2m+1)^{p-1}\equiv [/mm] 1 (mod 2)$, sodass [mm] $2|(b^{p-1}-a^{p-1})$. [/mm]

2. [mm] $ab^{p}-ba^{p}\equiv ab(b^{p-1}-a^{p-1})\equiv [/mm] 0 (mod 3)$: Wenn $3|a$ oder $3|b$ dann fertig. Wenn nicht, ... ? wie kann ich zeigen, dass dann immer [mm] $a^{p-1} \equiv [/mm] 1 (mod 3)$?

3. [mm] $ab^{p}-ba^{p}\equiv ab(b^{p-1}-a^{p-1})\equiv [/mm] 0 (mod p)$: Wenn $p|a$ oder $p|b$ dann fertig. Wenn nicht, folgt nach Fermat [mm] $b^{p-1}\equiv a^{p-1}\equiv [/mm] 1 (mod p)$, sodass [mm] $p|(b^{p-1}-a^{p-1})$. [/mm]

Bei $mod 3$ brauche ich nochmal Hilfe. Passt das sonst so?



        
Bezug
ab^p - ba^p mod 6p = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Di 08.11.2016
Autor: hippias

Das ist soweit alles gut gemacht. Die Lücke im Beweis kannst Du mit Überlegungen ähnlich wie im Fall mit der Teilbarkeit durch $2$ schliessen. Illustrativ könnte sein, wenn Du Dir die Elemente in [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] aufzählst und Potenzen der Elemente berechnest.

Bezug
                
Bezug
ab^p - ba^p mod 6p = 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Di 08.11.2016
Autor: MarcHe

Ok, ich habe folgenden Vorschlag dank deiner Hilfe:

Wenn $3$ nicht $ab$ teilt, dann entweder [mm] $(3n+1)^{p-1}\equiv (3m+1)^{p-1}≡1 [/mm] (mod 3)$, oder da $p-1=2k$ gilt [mm] $(3n+2)^{2k}\equiv (3n+2)*…*(3n+2)\equiv 2^{2k} \equiv 4^k\equiv [/mm] 1 (mod 3)$, sodass [mm] $3|(b^{p-1}-a^{p-1})$, [/mm] also [mm] $p|ab^{p}-ba^{p}$. [/mm]

Ist das so richtig?

Bezug
                        
Bezug
ab^p - ba^p mod 6p = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mi 09.11.2016
Autor: hippias

Ja. Die Idee von HJKweseleit finde ich aber noch besser, da eine zusätzliche Fallunterscheidung so nicht nötig ist.

Bezug
        
Bezug
ab^p - ba^p mod 6p = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Di 08.11.2016
Autor: HJKweseleit

Setze in deinem 3. Beweis einfach p=3.

falsche Antwort, s. mein nächster Beitrag.

Bezug
                
Bezug
ab^p - ba^p mod 6p = 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Di 08.11.2016
Autor: MarcHe

Wenn ich doch $p=3$ gesetzt habe, dann kann dich doch nicht zeigen, dass [mm] $a^{p-1} [/mm] mod 3 = 1$ ist, oder?

Bezug
                        
Bezug
ab^p - ba^p mod 6p = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Mi 09.11.2016
Autor: HJKweseleit


> Wenn ich doch [mm]p=3[/mm] gesetzt habe, dann kann dich doch nicht
> zeigen, dass [mm]a^{p-1} mod 3 = 1[/mm] ist, oder?

Ja, du hast Recht!

Die 3 hat ja mit dem p gar nichts zu tun, das hatte ich verwechselt.

Also nehmen wir deine 1. Zeile:

1. $ [mm] ab^{p}-ba^{p}\equiv ab(b^{p-1}-a^{p-1})\equiv [/mm] 0 (mod 3) $: Wenn $ 3|a $ oder $ 3|b $ dann fertig. Wenn nicht, folgt $ [mm] (3n\pm 1)^{p-1}\equiv (3m\pm 1)^{p-1}\equiv [/mm] \ 1 (mod 3) $, sodass $ [mm] 3|(b^{p-1}-a^{p-1}) [/mm] $.

Bemerkung: [mm] (3m\pm 1)^{p-1}\equiv [/mm] +1 (mod 3), weil p-1 gerade ist und deshalb [mm] (\pm 1)^{p-1} [/mm] = +1 ergibt.




Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de