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Zyklische Gruppe, Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:32 Mi 13.07.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Untergruppen von zyklischen Gruppen, sind zyklisch.

Hallo,

ich möchte diese Aussage beweisen, da sie im Skript nicht bewiesen wurde.
Mein Beweis sieht so aus:

Sei $G$ eine zyklische Gruppe und [mm] $U\subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe.
Für [mm] $U=\{e\}$ [/mm] ist die Aussage trivial. Sei also [mm] $U\neq\{e\}$. [/mm]

Da $G$ eine zyklische Gruppe ist, gibt es ein [mm] $a\in [/mm] G$ mit [mm] $\langle a\rangle=G=\{a^n,n\in\mathbb{Z}\}$. [/mm]

Sei [mm] $a^d\in [/mm] U$ mit $0<d$ minimal. Sei [mm] $a^l\in [/mm] U$ beliebig. Dann ist $l=cd+r$ (Division mit Rest), mit [mm] $0\leq [/mm] r<d$.
Dann ist [mm] $a^l=a^{cd+r}=a^{cd}a^r\in [/mm] U$. Also [mm] $a^r\in [/mm] U$. Dann muss $r=0$ sein, da $d$ minimal gewählt war. Also [mm] $a^l=a^{cd}$. [/mm] Somit ist [mm] a^d [/mm] ein Erzeuger von $U$, und $U$ somit zyklisch.


Über eine Bemerkung zu dem Beweis würde ich mich freuen.
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:51 Mi 13.07.2016
Autor: fred97


> Untergruppen von zyklischen Gruppen, sind zyklisch.
>  Hallo,
>  
> ich möchte diese Aussage beweisen, da sie im Skript nicht
> bewiesen wurde.
> Mein Beweis sieht so aus:
>  
> Sei [mm]G[/mm] eine zyklische Gruppe und [mm]U\subseteq G[/mm] eine
> Untergruppe.
> Für [mm]U=\{e\}[/mm] ist die Aussage trivial. Sei also [mm]U\neq\{e\}[/mm].
>  
> Da [mm]G[/mm] eine zyklische Gruppe ist, gibt es ein [mm]a\in G[/mm] mit
> [mm]\langle a\rangle=G=\{a^n,n\in\mathbb{Z}\}[/mm].
>  
> Sei [mm]a^d\in U[/mm] mit [mm]0
> ist [mm]l=cd+r[/mm] (Division mit Rest), mit [mm]0\leq r
> Dann ist [mm]a^l=a^{cd+r}=a^{cd}a^r\in U[/mm]. Also [mm]a^r\in U[/mm]. Dann
> muss [mm]r=0[/mm] sein, da [mm]d[/mm] minimal gewählt war. Also [mm]a^l=a^{cd}[/mm].
> Somit ist [mm]a^d[/mm] ein Erzeuger von [mm]U[/mm], und [mm]U[/mm] somit zyklisch.
>  
>
> Über eine Bemerkung zu dem Beweis würde ich mich freuen.

Der Beweis ist O.K. Für meinen Geschmack sollstest Du noch ein paar Worte spendieren, warum  [mm]a^r\in U[/mm] ist.

FRED


>  Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:07 Mi 13.07.2016
Autor: hippias

... und erläutern, weshalb es überhaupt ein positives $d$ mit [mm] $a^{d}\in [/mm] U$ gibt.

Bezug
                
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Mi 13.07.2016
Autor: impliziteFunktion


> Für meinen Geschmack sollstest Du noch ein paar Worte spendieren, warum  $ [mm] a^r\in [/mm] U $ ist.

[mm] $a^r\in [/mm] U$ gilt, weil [mm] $a^{cd+r}\in [/mm] U$. Wenn [mm] $a^r\notin [/mm] U$ wäre, dann wäre auch [mm] $a^{cd+r}=a^{cd}a^r\notin [/mm] U$, wegen der Abgeschlossenheit.


> und erläutern, weshalb es überhaupt ein positives $ d $ mit $ [mm] a^{d}\in [/mm] U $ gibt.

Das sollte ohne Einschränkung "klar" sein. Entweder gibt es ein minimals positives $d$ für das [mm] $a^d\in [/mm] U$, oder es gibt ein maximales negatives $d<0$ mit [mm] $a^d\in [/mm] U$

Bezug
                        
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Mi 13.07.2016
Autor: fred97


> > Für meinen Geschmack sollstest Du noch ein paar Worte
> spendieren, warum  [mm]a^r\in U[/mm] ist.
>
> [mm]a^r\in U[/mm] gilt, weil [mm]a^{cd+r}\in U[/mm]. Wenn [mm]a^r\notin U[/mm] wäre,
> dann wäre auch [mm]a^{cd+r}=a^{cd}a^r\notin U[/mm], wegen der
> Abgeschlossenheit.

Diese "Begründung" gefällt mir nicht !

FRED

>  
>
> > und erläutern, weshalb es überhaupt ein positives [mm]d[/mm] mit
> [mm]a^{d}\in U[/mm] gibt.
>
> Das sollte ohne Einschränkung "klar" sein. Entweder gibt
> es ein minimals positives [mm]d[/mm] für das [mm]a^d\in U[/mm], oder es gibt
> ein maximales negatives [mm]d<0[/mm] mit [mm]a^d\in U[/mm]


Bezug
                                
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Mi 13.07.2016
Autor: impliziteFunktion


> Diese "Begründung" gefällt mir nicht !

Weil sie falsch ist, bzw. den Kern der Sache nicht trifft, oder weil ich es nicht ausreichend formuliert habe?

Ich weiß, dass [mm] $a^{cd+r}\in [/mm] U$. Es ist [mm] $a^{cd+r}=\underbrace{a^{cd}}_{\in U}\underbrace{a^r}_{\in U}$. [/mm] Andernfalls würde es einen Widerspruch zur Abgeschlossenheit geben.

Bezug
                                        
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Mi 13.07.2016
Autor: fred97


> > Diese "Begründung" gefällt mir nicht !
>
> Weil sie falsch ist, bzw. den Kern der Sache nicht trifft,
> oder weil ich es nicht ausreichend formuliert habe?
>  
> Ich weiß, dass [mm]a^{cd+r}\in U[/mm]. Es ist
> [mm]a^{cd+r}=\underbrace{a^{cd}}_{\in U}\underbrace{a^r}_{\in U}[/mm].
> Andernfalls würde es einen Widerspruch zur
> Abgeschlossenheit geben.


Es fehlt ein Argument:

Wir haben:  [mm]a^{cd+r}\in U[/mm] und [mm] $a^{cd} \in [/mm] U$.

Jetzt kommts: dann ist auch  [mm] $a^{-cd}=(a^{cd})^{-1}\in [/mm] U$.

Wegen der Abgeschlossenheit von U haben wir dann

  [mm] $a^r=a^{cd+r}*a^{-cd} \in [/mm] U$

Ist Dir jetzt klar, was ich zu meckern hatte ?

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Mi 13.07.2016
Autor: impliziteFunktion


> Ist Dir jetzt klar, was ich zu meckern hatte ?

Jein...
Mir ist natürlich klar, dass dein Argument verständlicher ist und es klar macht, warum es gilt.
Aber gibt es etwa ein Gegenbeispiel dafür, dass meine Begründung noch nicht ausreichend ist?

Bezug
                                                        
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Mi 13.07.2016
Autor: fred97


> > Ist Dir jetzt klar, was ich zu meckern hatte ?
>
> Jein...
>  Mir ist natürlich klar, dass dein Argument
> verständlicher ist und es klar macht, warum es gilt.
> Aber gibt es etwa ein Gegenbeispiel dafür, dass meine
> Begründung noch nicht ausreichend ist?


Gegenbeispiel ? Was soll das ?  Mir hat einfach gefehlt:

   mit  $ [mm] a^{cd} \in [/mm] U $  ist auch  $ [mm] a^{-cd}=(a^{cd})^{-1}\in [/mm] U $

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:31 Mi 13.07.2016
Autor: impliziteFunktion

Vielen Dank.

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