www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Stetigkeit" - Zwischenwerteig.,sin(1/x)
Zwischenwerteig.,sin(1/x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Zwischenwerteig.,sin(1/x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Sa 13.12.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Zeigen Sie, dass f unstetig ist aber die Zwischenwerteigenschaft besitzt.
$ [mm] f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases} [/mm] $

Hallo zusammen,

die Unstetigkeit ist klar, aber die Zwischenwerteigenschaft an 0 mach mir Probleme!

Für x [mm] \not=0 [/mm] ist f stetig da sin(x) und 1/x stetig sind für x [mm] \not=0. [/mm] Die Komposition von stetigen Funktionne ist wieder stetig.
Für x=0 ist f unstetig da:
[mm] r_n [/mm] := [mm] \frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} r_n [/mm] =0
[mm] lim_{n->\infty} f(r_n)= lim_{n->\infty} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] n + [mm] \pi/2)= [/mm] sin [mm] (\pi/2) [/mm] =1 [mm] \not= [/mm] 0= f(0)

ZZ.: Zu jeden Intervall [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] und zu jeden c zwischen f(a) und f(b)  =>  [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0)=c [/mm]
Da f für [mm] x\not= [/mm] 0 stetig ist, genügt f hier auch der Zwischenwerteigenschaft nach Satz in der Vorlesung.
Noch zu zeigen bleibt die Zwischenwerteigenschaft für x=0.

Ich weiß hier gar nicht so recht, was ich zeigen muss?
Dass für jedes Intervall[a,b] mit 0 zwischen f(a) und f(b) ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] existiert mit [mm] f(x_0)=0. [/mm] Oder ist etwas anderes zu zeigen?

LG,
sissi


        
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 13.12.2014
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass f unstetig ist aber die
> Zwischenwerteigenschaft besitzt.
>  [mm]f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases}[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> die Unstetigkeit ist klar, aber die Zwischenwerteigenschaft
> an 0 mach mir Probleme!
>  
> Für x [mm]\not=0[/mm] ist f stetig da sin(x) und 1/x stetig sind
> für x [mm]\not=0.[/mm] Die Komposition von stetigen Funktionne ist
> wieder stetig.
>  Für x=0 ist f unstetig da:
>   [mm]r_n[/mm] := [mm]\frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> [mm]lim_{n->\infty} r_n[/mm] =0
>  [mm]lim_{n->\infty} f(r_n)= lim_{n->\infty}[/mm] sin(2 [mm]\pi[/mm] n +
> [mm]\pi/2)=[/mm] sin [mm](\pi/2)[/mm] =1 [mm]\not=[/mm] 0= f(0)
>  
> ZZ.: Zu jeden Intervall [a,b] [mm]\subseteq \IR[/mm] und zu jeden c
> zwischen f(a) und f(b)  =>  [mm]\exists x_0 \in[/mm] [a,b] mit

> [mm]f(x_0)=c[/mm]
>  Da f für [mm]x\not=[/mm] 0 stetig ist, genügt f hier auch der
> Zwischenwerteigenschaft nach Satz in der Vorlesung.
>  Noch zu zeigen bleibt die Zwischenwerteigenschaft für
> x=0.
>  
> Ich weiß hier gar nicht so recht, was ich zeigen muss?
>  Dass für jedes Intervall[a,b] mit 0 zwischen f(a) und
> f(b) ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] existiert mit [mm]f(x_0)=0.[/mm] Oder ist
> etwas anderes zu zeigen?
>  
> LG,
>  sissi
>  


Wegen |sin(1/x)| [mm] \le [/mm] 1 ist [mm] f(\IR) \subseteq [/mm] [-1,1].

Zeigen sollst Du [mm] f(\IR) [/mm] =[-1,1].

Sei also [mm] y_0 \in [/mm] [-1,1].

Fall 1: [mm] y_0 [/mm] =0. Zeige: es gibt ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] f(x_0)=0. [/mm]

Fall 2: [mm] y_0 \ne [/mm] 0. Zeige: es gibt ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] f(x_0)=y_0. [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:49 Sa 13.12.2014
Autor: sissile

Hallo Fred,
Danke für die Antwort.
Trotz häufigen Lesens&Durchdenken deiner Antwort bin ich nicht darauf gekommen, wieso das die Zwischenwerteigenschaft ist.

Es ist doch zuzeigen:
Für alle Intervalle [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] und [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] [f(a), [mm] f(b)]\subseteq [/mm] [-1,1]: [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0)=c [/mm]
bzw.: [f(a), f(b)] [mm] \subseteq [/mm] f([a,b])

Hier ist ja ein [mm] x_0 [/mm] gesucht, dass in [mm] [a,b]\subseteq \IR [/mm] liegt. Aber du sucht eines was in [mm] \IR [/mm] liegt, dass muss ja nicht unbedingt in [a,b] liegen?

-) [mm] c\not= [/mm] 0 -> f stetig und deshalb Zwischenwertseigenschaft
-) c=0
Sei A:= [mm] \{\{ \frac{1}{k \pi} | k \in \IZ\} \cup \{0\}\} [/mm]
Ist a [mm] \le [/mm] 0, [mm] b\ge [/mm] 0 so wähle [mm] x_0 [/mm] := 0
Deshalb betrachte ich die Fälle a,b <0 bzw. a,b >0
Jetzt ist doch zz, dass in jedem solchen Intervall [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ: \frac{1}{k \pi} \in [/mm] [a,b] oder ?


LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mo 15.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de