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Forum "Stetigkeit" - Zwischenwerteig.,sin(1/x)
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Zwischenwerteig.,sin(1/x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Sa 13.12.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Zeigen Sie, dass f unstetig ist aber die Zwischenwerteigenschaft besitzt.
$ [mm] f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases} [/mm] $

Hallo zusammen,

die Unstetigkeit ist klar, aber die Zwischenwerteigenschaft an 0 mach mir Probleme!

Für x [mm] \not=0 [/mm] ist f stetig da sin(x) und 1/x stetig sind für x [mm] \not=0. [/mm] Die Komposition von stetigen Funktionne ist wieder stetig.
Für x=0 ist f unstetig da:
[mm] r_n [/mm] := [mm] \frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} r_n [/mm] =0
[mm] lim_{n->\infty} f(r_n)= lim_{n->\infty} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] n + [mm] \pi/2)= [/mm] sin [mm] (\pi/2) [/mm] =1 [mm] \not= [/mm] 0= f(0)

ZZ.: Zu jeden Intervall [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] und zu jeden c zwischen f(a) und f(b)  =>  [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0)=c [/mm]
Da f für [mm] x\not= [/mm] 0 stetig ist, genügt f hier auch der Zwischenwerteigenschaft nach Satz in der Vorlesung.
Noch zu zeigen bleibt die Zwischenwerteigenschaft für x=0.

Ich weiß hier gar nicht so recht, was ich zeigen muss?
Dass für jedes Intervall[a,b] mit 0 zwischen f(a) und f(b) ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] existiert mit [mm] f(x_0)=0. [/mm] Oder ist etwas anderes zu zeigen?

LG,
sissi


        
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 13.12.2014
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass f unstetig ist aber die
> Zwischenwerteigenschaft besitzt.
>  [mm]f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases}[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> die Unstetigkeit ist klar, aber die Zwischenwerteigenschaft
> an 0 mach mir Probleme!
>  
> Für x [mm]\not=0[/mm] ist f stetig da sin(x) und 1/x stetig sind
> für x [mm]\not=0.[/mm] Die Komposition von stetigen Funktionne ist
> wieder stetig.
>  Für x=0 ist f unstetig da:
>   [mm]r_n[/mm] := [mm]\frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> [mm]lim_{n->\infty} r_n[/mm] =0
>  [mm]lim_{n->\infty} f(r_n)= lim_{n->\infty}[/mm] sin(2 [mm]\pi[/mm] n +
> [mm]\pi/2)=[/mm] sin [mm](\pi/2)[/mm] =1 [mm]\not=[/mm] 0= f(0)
>  
> ZZ.: Zu jeden Intervall [a,b] [mm]\subseteq \IR[/mm] und zu jeden c
> zwischen f(a) und f(b)  =>  [mm]\exists x_0 \in[/mm] [a,b] mit

> [mm]f(x_0)=c[/mm]
>  Da f für [mm]x\not=[/mm] 0 stetig ist, genügt f hier auch der
> Zwischenwerteigenschaft nach Satz in der Vorlesung.
>  Noch zu zeigen bleibt die Zwischenwerteigenschaft für
> x=0.
>  
> Ich weiß hier gar nicht so recht, was ich zeigen muss?
>  Dass für jedes Intervall[a,b] mit 0 zwischen f(a) und
> f(b) ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] existiert mit [mm]f(x_0)=0.[/mm] Oder ist
> etwas anderes zu zeigen?
>  
> LG,
>  sissi
>  


Wegen |sin(1/x)| [mm] \le [/mm] 1 ist [mm] f(\IR) \subseteq [/mm] [-1,1].

Zeigen sollst Du [mm] f(\IR) [/mm] =[-1,1].

Sei also [mm] y_0 \in [/mm] [-1,1].

Fall 1: [mm] y_0 [/mm] =0. Zeige: es gibt ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] f(x_0)=0. [/mm]

Fall 2: [mm] y_0 \ne [/mm] 0. Zeige: es gibt ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] f(x_0)=y_0. [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:49 Sa 13.12.2014
Autor: sissile

Hallo Fred,
Danke für die Antwort.
Trotz häufigen Lesens&Durchdenken deiner Antwort bin ich nicht darauf gekommen, wieso das die Zwischenwerteigenschaft ist.

Es ist doch zuzeigen:
Für alle Intervalle [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] und [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] [f(a), [mm] f(b)]\subseteq [/mm] [-1,1]: [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0)=c [/mm]
bzw.: [f(a), f(b)] [mm] \subseteq [/mm] f([a,b])

Hier ist ja ein [mm] x_0 [/mm] gesucht, dass in [mm] [a,b]\subseteq \IR [/mm] liegt. Aber du sucht eines was in [mm] \IR [/mm] liegt, dass muss ja nicht unbedingt in [a,b] liegen?

-) [mm] c\not= [/mm] 0 -> f stetig und deshalb Zwischenwertseigenschaft
-) c=0
Sei A:= [mm] \{\{ \frac{1}{k \pi} | k \in \IZ\} \cup \{0\}\} [/mm]
Ist a [mm] \le [/mm] 0, [mm] b\ge [/mm] 0 so wähle [mm] x_0 [/mm] := 0
Deshalb betrachte ich die Fälle a,b <0 bzw. a,b >0
Jetzt ist doch zz, dass in jedem solchen Intervall [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ: \frac{1}{k \pi} \in [/mm] [a,b] oder ?


LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mo 15.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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