Zeigen, dass bijektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Aufgabe: Zeigen Sie, dass folgende Abbildung bijektiv ist und geben sie die Umkehrabbildung an:
[mm] g\; :\; N\; -->\; N\; \; \left( N\; ist\; die\; Menge\; der\; natürlichen\; Zahlen \right)
[/mm]
[mm] k\; -->\; \left\{\begin{array}{cc} 2k & falls\; k\; ge\mbox{rad}e\; ist \\ k-1 & falls\; k+1\; durch\; 4\; teilbar\; ist \\ \frac{k+1}{2} & falls\; k-1\; durch\; 4\; teilbar\; ist \end{array}\right.
[/mm]
Grundlegende Frage: "Zeigen Sie" heißt, dass ich es lediglich zeigen aber nicht beweisen muss. Oder? Im Tutorium hatten wir ein ähnliches Beispiel - allerdings mit einer endlichen Menge mit nur 5 Elementen. Da haben wir lediglich die Funktionswerte berechnet und so gezeigt, dass sie bijektiv ist.
Hier habe ich allerdings eine Menge mit unendlich vielen Elementen.
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"Zeigen sie" bedeutet im allgemeinen, dass du es beweisen sollst.
nun, zu zeigen dass die Funktion bijektiv ist, sollte auch bei einer unendlichen Menge möglich sein. einfach zeigen, dass sie injektiv ist, also dass f(x)=f(x') gdw x=x'
und dass die funktion surjektiv ist d.h. für jedes y Y existiert mindestens ein xX mit f(x)=y .
ähnlich kann man zeigen, dass die Multiplikation in den natürlichen Zahlen bijektiv ist, weil die natürlichen Zahlen als Körpfer Nullteilerfrei sind !
die Umkehrfunktion ist ja ziemlich eindeutig abzulesen , einfach alles umdrehen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Sa 03.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ähnlich kann man zeigen, dass die Multiplikation in den
> natürlichen Zahlen bijektiv ist, weil die natürlichen
> Zahlen als Körpfer Nullteilerfrei sind !
Vorsicht, das gilt nur, wenn man mit 1 multipliziert! Wenn man mit 0 multipliziert, ist's weder injektiv noch surjektiv, und wenn man mit einer natuerlichen Zahl $> 1$ multipliziert ist's nicht surjektiv.
Die Nullteilerfreiheit sagt nur, dass die Multiplikation mit Elemenenten [mm] $\neq [/mm] 0$ injektiv ist (aber im Allgemeinen nicht surjektiv!).
> die Umkehrfunktion ist ja ziemlich eindeutig abzulesen ,
> einfach alles umdrehen ;)
Ganz so einfach ist es nicht, man muss sich schon ein wenig Gedanken machen, gerade wie man die Fallunterscheidung im Bildbereich macht. Aber das sind genau die gleichen Ueberlegungen, die man auch fuer's normale injektiv bzw. surjektiv braucht...
LG Felix
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Und wie beweist man sowas formal bei einer abschnittsweis definierten Abbildung, die allerdings wie in diesem Falle recht konkret ist. Bisher haben wir immer nur ganz abstrakte Fälle betrachtet:
[mm] f\; :\; N\; -->\; N\; \; \left( N\; =\; \left\{ 1,\; ...\; ,\; n \right\} \right)
[/mm]
Behauptung: f ist injektiv.
[mm] für\; alle\; x_{1},\; x_{2}\; \in \; N\; mit\; x_{1}\; \neq \; x_{2}\; -->\; f\left( x_{1} \right)\; \neq \; f\left( x_{2} \right).\; Also\; \; \left| f\left( N \right) \right|\; =\; \left| f\left( 1 \right),\; ...,\; f\left( n \right) \right|\; =\; n\; [/mm]
Schön. Nun haber ich aber bei dieser Aufgabe eine sehr konkrete Abbildung. Ich werde da nicht ebenso "abstrakt" vorgehen können. Kann mir da jemand einen kleinen Anstoß geben, wie ich das löse?
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> Schön. Nun haber ich aber bei dieser Aufgabe eine sehr
> konkrete Abbildung. Ich werde da nicht ebenso "abstrakt"
> vorgehen können. Kann mir da jemand einen kleinen Anstoß
> geben, wie ich das löse?
Hallo,
normalerweise sind "konkrete" Aufgaben immer viel beliebter.
Zu zeigen hast Du die Injektivität und die Surjektivität.
SURJEKTIVITÄT:
Hier mußt Du zeigen, daß auf jedes Element des Wertebereiches [mm] \IN [/mm] ein Element abgebildet wird.
Der Trick bei dieser Aufgabe ist, daß Du Dir überlegst, daß es für jede natürliche Zahl folgende Möglichkeiten gibt:
1) Sie ist gerade
a) Sie ist das Doppelte einer geraden Zahl
b) Sie ist das doppelte einer ungeraden Zahl
2) Sie ist ungerade
Für jeden dieser Fälle mußt Du nun ein Element angeben, welches auf die entsprechende Zahl abgebildet wird.
INJEKTIVITÄT:
Hier könntest Du Dir überlegen, ob zwei verschiedene Zahlen auf dieselbe gerade Zahl abgebildet werden können oder ob sie auf dieselbe ungerade Zahl abgebildet werden können.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich wiederhole mal, was ich glaube wie verstanden zu haben - mit eigenen Worten:
ich muss zeigen, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist um zu zeigen, dass sie bijektiv ist. Richtig?
Problem: Die Abbildung ist "abschnittsweise" definiert. Daher muss ich für jeden möglichen "Fall" der Abbildung "abdecken" - richtig?
Ich fange mal mit dem ersten Fall an.
k ist eine gerade Zahl - heißt k ist ohne Rest durch 2 teilbar.
Surjektiv ist ja wie folgt definiert: Für alle Elemente des Zielbereichs (y) existiert mindestens ein Element des Definitionsbereiches (x) für das gilt: g(x) = y.
Nun gut. Eigentlich kann ich dann doch sowas machen:
[mm] Für\; alle\; y\; \in \; N\; ex.\; ein\; x\; \in \; N\; :\; g\left( x \right)\; =\; [/mm] y
Da im ersten Fall (k ist eine gerade Zahl) k auf 2k abgebildet wird kann ich schreiben:
[mm] 2x\; =\; 2y'\; =\; x\; =\; [/mm] y'
Damit habe ich surjektivität für den ersten Fall gezeigt. Das mache ich noch mit den anderen beiden Fällen. Sind alle Fälle surjektiv ist die Abbildung g surjektiv.
Injektivität überlege ich mir noch... aber stimmt es soweit?
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> ich muss zeigen, dass die Abbildung injektiv und surjektiv
> ist um zu zeigen, dass sie bijektiv ist. Richtig?
Ja, das ist ja die Definition von bijektiv.
>
> Problem: Die Abbildung ist "abschnittsweise" definiert.
Du setzt das "abschnittweise" ja schon selbst in Anführungszeichen.
Abschnitte sind das ja nicht.
Sagen wir "mit Fallunterscheidung", eine bessere Formulierung fällt mir im Moment auch nicht ein.
> Daher muss ich für jeden möglichen "Fall" der Abbildung
> "abdecken" - richtig?
Du bist ja gerade dabei, Dich mit "surjektiv" zu beschäftigen.
Du mußt hier sichern, daß Du jedes Element des Wertebereiches [mm] \IN [/mm] mit der Abbildung erreichst.
>
> Ich fange mal mit dem ersten Fall an.
>
> k ist eine gerade Zahl - heißt k ist ohne Rest durch 2
> teilbar.
Ja. Etwas griffiger ist aber: es gibt eine nat. Zahl [mm] n_k [/mm] mit [mm] k=2n_k.
[/mm]
>
> Surjektiv ist ja wie folgt definiert: Für alle Elemente des
> Zielbereichs (y) existiert mindestens ein Element des
> Definitionsbereiches (x) für das gilt: g(x) = y.
Richtig.
>
> Nun gut. Eigentlich kann ich dann doch sowas machen:
>
> [mm]Für\; alle\; y\; \in \; N\; ex.\; ein\; x\; \in \; N\; :\; g\left( x \right)\; =\;[/mm]
> y
"kann so etwas machen" ? Du mußt genau das zeigen!
>
> Da im ersten Fall (k ist eine gerade Zahl) k auf 2k
> abgebildet wird kann ich schreiben:
>
> [mm]2x\; =\; 2y'\; =\; x\; =\;[/mm] y'
>
> Damit habe ich surjektivität für den ersten Fall gezeigt.
Jetzt hast Du mich abgehängt... Ob Du das Richtige meinst? Ich weiß nicht genau...
Paß auf:
Wir hatten ja bereits festgestellt, daß nur die Fälle 1a), 1b) und 1c) vorkommen können.
Nehmen wir jetzt 1a)
Es sei [mm] y\in \IN [/mm] so, daß man y schreiben kann als Produkt von 2 mit einer geraden Zahl.
D,h. es gibt ein [mm] m_y \in \IN [/mm] mit [mm] y=2*(2m_y).
[/mm]
Nach Abbildungsvorschrift für f ist [mm] f(2m_y)= 2*(2m_y) [/mm] =y.
Hiermit hast Du gezeigt, daß auf jede gerade Zahl, die durch 4 teilbar ist, tatsächlich ein Element abgebildet wird.
Versuch Dich nun mal an den anderen Fällen.
Vielleicht hilft es Dir auch, wenn Du erstmal herausfindest, was auf die 1,2,3,4,5,6,7.8 abgebildet wird.
> Das mache ich noch mit den anderen beiden Fällen. Sind alle
> Fälle surjektiv ist die Abbildung g surjektiv.
Genau.
>
> Injektivität überlege ich mir noch...
Auch hier wirst Du Fallunterscheidungen machen müssen.
Gruß v. Angela
aber stimmt es
> soweit?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:37 Sa 03.11.2007 | | Autor: | BobBoraxo |
ich hab grad was im Forum endeckt, vielleicht kann dir das weiterhelfen ! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:49 Sa 03.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Und was? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Sa 03.11.2007 | | Autor: | BobBoraxo |
bin dir wohl noch nen link schuldig... das ist doch genau deine aufgabe :
http://www.matheforum.net/read?t=315649
hab ich wohl vergessen...
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