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Forum "Algebra" - Wurzel einer p-adischen Zahl
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Wurzel einer p-adischen Zahl: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:35 So 23.06.2019
Autor: Thellur

Aufgabe
Hi,

ich habe das Polynom $ [mm] X^2-5 [/mm] $. Warum besitzt dieses über $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ keine Lösung?




Wenn ich $ 5 $ in ihrer $2$-adischen Entwicklung schreibe, erhalte ich

$ [mm] X^2 [/mm] - (1 + [mm] 1*2^2) [/mm] = 0 $

$ [mm] (x_0 [/mm] + [mm] x_1*2 [/mm] + [mm] x_2*x^2 [/mm] + [mm] \ldots )^2 [/mm] = 1 + [mm] 1*2^2 [/mm] $

$ [mm] x_0^2 [/mm] + [mm] 2x_1*2 [/mm] + [mm] (2x_0x_2+x_1^2)*2^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] = 1 + [mm] 1*2^2 [/mm] $


Aber ich weiß nicht, wie ich dann weiterkomme. Freue mich über jede Hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wurzel einer p-adischen Zahl: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 25.06.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Wurzel einer p-adischen Zahl: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 Di 25.06.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Ich habe das Polynom $ [mm] X^2-5 [/mm] $.
Warum besitzt dieses über $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ keine Lösung?


================================================


Gemeint ist wohl:  "Warum besitzt dieses über $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ keine Nullstelle ?"


Ich möchte gerne antworten, muss aber kurz zurückfragen:

Was genau ist hier mit  $ [mm] \IQ_2 [/mm] $  gemeint ?

LG ,  Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Wurzel einer p-adischen Zahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:15 Mi 26.06.2019
Autor: Thellur

Gott sei Dank antwortet jemand :)

Was genau ist hier mit  $ [mm] \IQ_2 [/mm] $  gemeint ?

$ [mm] \IQ_2 [/mm] $ sind die 2-adischen Zahlen, also "in etwa" die Binärzahlen.

Bezug
        
Bezug
Wurzel einer p-adischen Zahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 Mo 01.07.2019
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi,
>  
> ich habe das Polynom [mm]X^2-5 [/mm]. Warum besitzt dieses über
> [mm]\IQ_2[/mm] keine Lösung?
>  
>
>
> Wenn ich [mm]5[/mm] in ihrer [mm]2[/mm]-adischen Entwicklung schreibe,
> erhalte ich
>  
> [mm]X^2 - (1 + 1*2^2) = 0[/mm]
>  
> [mm](x_0 + x_1*2 + x_2*x^2 + \ldots )^2 = 1 + 1*2^2[/mm]
>  
> [mm]x_0^2 + 2x_1*2 + (2x_0x_2+x_1^2)*2^2 + \ldots = 1 + 1*2^2[/mm]



Hallo Thellur,

ich komme doch noch einmal auf die Frage zurück. Falls es
um die Binärdarstellung geht, könnte man also die Frage so
umformulieren:
Kann man die reelle Zahl  [mm] \sqrt{5} [/mm]  binär darstellen ?
Ich denke, dass das möglich sein sollte, ebensogut wie etwa
eine Darstellung im Dezimalsystem möglich ist:

[mm] $\sqrt{5}\ [/mm] =\ 2.23606797......$

Die Dezimalentwicklung ist dabei (weil [mm] \sqrt{5} [/mm]  eine irrationale
Zahl ist)  nicht abbrechend und nicht periodisch.

Eine analoge Darstellung ist auch in binärer Darstellung möglich:

[mm] $\sqrt{101_2}\ [/mm] =\ 10.00111100011..._2$

Nun ist mir nur nicht ganz klar, ob die Menge  $ [mm] \IQ_2 [/mm] $  etwa nur
die abbrechenden (endlich langen) Binärentwicklungen oder
auch die nicht abbrechenden enthalten soll.

LG ,   Al-Chwarizmi

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