Weiss leider nicht mal wie man so was nennt? irgendwie mit "o" und "O" < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:52 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Mathe-loser |
HI kann mit dieser Aufgabe irgendwie garnichts anfangen
Zeigen sie dass für ein Polynom [mm] P_n [/mm] vom Grad n und ein Polynom [mm] Q_m [/mm] vom Grad m gilt:
[mm] \bruch{P(x)}{Q(x)}= {\left| x \right| \to \infty} O(x^{n-m})
[/mm]
Was trifft alles für x--> o zu? (mit Begründung)
sin x =? o(1)
1-cos x =? o(x)
ln x =? [mm] o(x^2)
[/mm]
ln (1+x) =? O(1)
exp x =? O(x)
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
So geht das nicht. Du kannst doch nicht nur die Aufgabenstellung hier reinstellen, hoffen, dass dir jemand die Aufgabe löst und dir die Lösung dann abholen. Wir sind kein kostenloses Dienstleistungsunternehmen.
Vorschlag: Die erste Aufgabe deute ich jetzt mal an, vom Rest will ich zunächst eigene Vorschläge und Kommentare von dir lesen, selbst wenn du mir einfach nur sagst, was dir daran genau nicht klar ist. Dann erkläre ich dir die Stelle und du versuchst es dann noch einmal zunächst alleine.
Also, zur ersten Aufgabe:
Es sei
$P(x) = [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0$
[/mm]
und
$Q(x) = [mm] b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_0$.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass es ein $K [mm] \in \IR^+$ [/mm] und eine Konstante [mm] $C_K \in \IR^+$ [/mm] gibt, so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\vert [/mm] x [mm] \vert\ge [/mm] K$ gilt:
[mm] $\mathbf{\big\vert \frac{P(x)}{Q(x)} \big\vert = \big\vert \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \ldots + b_0} \big\vert \le C_K \cdot \vert x^{n-m}\vert}$.
[/mm]
Nun gilt aber:
[mm] $\frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \ldots + b_0} [/mm] = [mm] x^{n-m} \cdot \frac{a_nx^m + a_{n-1}x^{m-1} + \ldots + a_0 x^{m-n}}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_0}$
[/mm]
und
[mm] $\lim\limits_{|x| \to \infty} \big\vert \frac{a_nx^m + a_{n-1}x^{m-1} + \ldots + a_0 x^{m-n}}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_0} \big\vert [/mm] = [mm] \big\vert \frac{a_n}{b_m} \big\vert$.
[/mm]
Nun sind aber konvergente Folgen beschränkt...
So, jetzt bist du am Zuge.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:26 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Mathe-loser |
HI Danke das Sie mir wenigstens versucht haben einen kleinen Tip zu geben leider verstehe ich das auch nciht stehe gerade total auf dem schlauch? Habe gar keine Ahnung was ich überhaupt mit dieser aufgabe machen soll deswegen habe ich ja auch die komplette aufgabe ins Forum gestellt weil mir das irgendwie gar ncihts sagt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Matheloser!
Ja, aber bleiben wir doch mal bei der ersten Teilaufgabe. Dort habe ich dir doch hingeschrieben, was zu zeigen ist. Was ist dir daran genau nicht klar? Und was verstehst du an meinen Ausführungen danach nicht? Kannst du denn dein Nicht-Verstehen nicht irgendwie genauer lokalisieren?
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
Mir ist das eigendlich alles nicht so klar
1. Sie benutzen ja irgendwelche Folgen für P(x) und q(x) sind diese den die einfachsten oder warum genau diese
2.
Sie suchen eine Konstante aber laut der aufgabe suche ich nun ein O(x^(n-m) das ist mir eben so unklar
So wie es nun weiter gehen sollte würde ich mir mal denken das an den punkt suchen sollte der das beschränkt und dann wieder irgendwie einsetzten oder?
Check das nicht :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo
> 1. Sie benutzen ja irgendwelche Folgen für P(x) und q(x)
> sind diese den die einfachsten oder warum genau diese
P(x) und Q(x) sind keine Folgen, sondern die allgemeine Schreibweise für Polynome. Wenn du dich an Deine Aufgabe erinnerst, dann waren Dir zwei Polynome gegeben:
Polynom P vom Grad n, Polynom Q vom Grad m.
Demnach beginnt man die Aufgabe erst einmal damit, dass man sich hinschreibt, was gegeben ist. das hat Julius getan:
$ P(x) = [mm] a_{n}x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] $
ist das Polynom p vom Grad n, was man daran erkennen kann, dass der höchste Exponent von x gleich n ist. Die komischen Dinger, die da immer vor dem x stehen, nennt man Koeffizienten - sie sind eigentlich nichts weiter als Zahlen.
Setzt man also mal Julius Schreibweise um - z.B. in ein Polynom vom Grad n=3, dann sieht das so aus:
$P(x) = [mm] a_3 x^3 [/mm] + [mm] a_2 x^2 [/mm] + [mm] a_1 x^1 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] $
Und als Joke nehmen wir doch mal ein Polynom 4. Grades (m=4)
$Q(x) = [mm] b_4 x^4 [/mm] + [mm] b_3 x^3 [/mm] + [mm] b_2 x^2 [/mm] + [mm] b_1 x^1 [/mm] + [mm] b_0 [/mm] $
Mit diesen beiden (recht speziellen) Polynomen läßt sich jetzt auch einmal Julius Lösungsvorschlag ganz expliziet nachrechnen. Eventuell fällt dann der Groschen - äh Cent - schneller, wenn man es im Allgemeinen machen muß.
>
> 2.
>
> Sie suchen eine Konstante aber laut der aufgabe suche ich
> nun ein O(x^(n-m) das ist mir eben so unklar
>
Nun, da empfehle ich einen Blick in die Datenbank (Link von Marc). Da ist die Rede von "beschränkt". Was heißt "beschränkt"? Hat das vielleicht irgend etwas mit Konstanten zu tun? Ich würde diese Frage mit ja beantworten.
Gruß,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathe-loser,
ich wollte nur noch ergänzen, dass diese Symbole Landausche Symbole heißen (ausgesprochen: "Klein-o" und "Groß-O").
Eine Definition habe ich unsere Datenbank gestellt  Landausche Symbole
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
