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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
| Aufgabe | Max spielt mit seinem Opa das Spiel „Schere, Stein, Papier“. Die Zufallsgröße X
beschreibt die Spielpunkte aus der Sicht von Max: 1 steht für gewonnen, 0 für unentschieden und -1 für
verloren. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Spielausgang beträgt
. Das Spiel wird i-mal gespielt. Xi ist die
zugehörige Zufallsgröße des i-ten Spiels.
a. Geben Sie die Verteilung der Zufallsgröße Z3=X1+ X2+ X3 an, wobei Z3 den Spielstand
nach drei Spielen beschreibt.
b. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Z3.
c. Das Spiel wir 20-mal hintereinander gespielt. Die Zufallsgröße Z20=X1+ …+ X20 beschreibt
den Spielstand nach 20 Spielen. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit,
dass Max insgesamt mehr als 5 Punkte hat. |
Wie lautet bei 3c der Ansatz? Hätte an Binomialverteilung gedacht, aber das kann es ja nicht sein, da es da die Bedingungen für nicht hat.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 So 24.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Max spielt mit seinem Opa das Spiel „Schere, Stein,
> Papier“. Die Zufallsgröße X
> beschreibt die Spielpunkte aus der Sicht von Max: 1 steht
> für gewonnen, 0 für unentschieden und -1 für
> verloren. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Spielausgang
> beträgt
>
> . Das Spiel wird i-mal gespielt. Xi ist die
> zugehörige Zufallsgröße des i-ten Spiels.
> a. Geben Sie die Verteilung der Zufallsgröße Z3=X1+ X2+
> X3 an, wobei Z3 den Spielstand
> nach drei Spielen beschreibt.
> b. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Z3.
> c. Das Spiel wir 20-mal hintereinander gespielt. Die
> Zufallsgröße Z20=X1+ …+ X20 beschreibt
> den Spielstand nach 20 Spielen. Berechnen Sie
> näherungsweise die Wahrscheinlichkeit,
> dass Max insgesamt mehr als 5 Punkte hat.
> Wie lautet bei 3c der Ansatz? Hätte an Binomialverteilung
> gedacht, aber das kann es ja nicht sein, da es da die
> Bedingungen für nicht hat.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
nach drei Spielen hat Max entweder -3 oder -2 oder -1 oder 0 oder 1 oder 2 oder 3 Punkte (das sind die möglichen Werte für Z3).
Jetzt kannst du an einem Baumdiagramm die 27 möglichen Pfade "auszählen" von denen jeweils einer oder mehrere zu einem der genannten Werte führen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
| Aufgabe | c. Das Spiel wir 20-mal hintereinander gespielt. Die Zufallsgröße Z20=X1+ …+ X20 beschreibt
den Spielstand nach 20 Spielen. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit,
dass Max insgesamt mehr als 5 Punkte hat. |
Danke für die Antwort, aber ich suche bei c. den Ansatz. Habe vergessen zu erwähnen das p=1/3 ist. Kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Trichina,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
zu c) Approximiere mittels einer Normalverteilung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Danke für den netten Willkommensgruß! Ich würde das machen mit dem Befehl "NormalCdf", habe jetzt μ und σ berechnet. Aber kannst du mir erläutern was ich bei "Untere-und obere Schranke" eingeben bzw. wie man darauf kommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich würde das
> machen mit dem Befehl "NormalCdf",
Sagt mir nichts.
> habe jetzt μ und σ
> berechnet. Aber kannst du mir erläutern was ich bei
> "Untere-und obere Schranke" eingeben bzw. wie man darauf
> kommt?
Gesucht ist [mm] $P(Z_{20}>5)$. [/mm] Wie wuerdest du denn diese Wsk berechnen, wenn [mm] $Z_{20}$ [/mm] exakt normelverteilt ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Alle Wahrscheinlichkeiten addieren, die zwischen 6 und 20 liegen. Also wären das mein Grenzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> Alle Wahrscheinlichkeiten addieren, die zwischen 6 und 20
> liegen. Also wären das mein Grenzen?
Wie das? Wenn [mm] $Z_{20}$ [/mm] *normalverteilt* ist? Ich rechne so:
[mm] $P(Z_{20}\le 5)\approx1-\Phi\left(\dfrac{5-\operatorname{E}[Z_{20}]}{\sqrt{\operatorname{Var}[Z_{20}]}}\right)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Ich hätte da dann jetzt 62,4 % raus, ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich hätte da dann jetzt 62,4 % raus, ist das richtig?
Weiss ich nicht. Du verraetst ja nicht, was du fuer den Erwartungswert und die Varianz errechnet hast.
Kommt mir aber nicht koscher vor: 5 liegt rechts von der Null ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Als Erwartungswert habe ich [mm] \bruch{20}{3} [/mm] und als Varianz 4,44444.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> Als Erwartungswert habe ich [mm]\bruch{20}{3}[/mm] und als Varianz
> 4,44444.
Aha, wir kommen der Sache naeher. Tatsaechlich ist [mm] $\operatorname{E}[Z_{20}]=0$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[Z_{20}]=20\cdot\frac{2}{3}$. [/mm]
Wie hast du denn gerechnet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Var= n*p*(1-p) und E=n*p.
n=20 und p=[mm] \bruch{1}{3} [/mm].
Wie soll es denn jetzt weiter gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
Du bist leider auf dem Holzweg, wenn du die Formeln der Binomialverteilung benutzt. Bedenke: [mm] $Z_{20}$ [/mm] ist eine Summe unabhaengiger Zufallsvariablen [mm] $X_i$, [/mm] die die Werte $-1,0,1$ annehmen. Bei der Binomialverteilung nehmen die einzelnen Summanden die Werte $0,1$ an.
Es ist also
[mm] \[\operatorname{E}[Z_{20}]=20\operatorname{E}[X_1]=0$
[/mm]
und
[mm] \[\operatorname{Var}[Z_{20}]=20\operatorname{Var}[X_1]=20\cdot\frac{2}{3}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Wie man auf E kommt habe ich verstanden, nur wie man auf die Varianz kommt noch nicht.
Und jetzt P(Z20>5) berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> Wie man auf E kommt habe ich verstanden, nur wie man auf
> die Varianz kommt noch nicht.
Nach der alten Bauernregel ist [mm] $\operatorname{Var}[X_1]=\operatorname{E}[X_1^2]-\operatorname{E}^2[X_1]=\operatorname{E}[X_1^2]=1\cdot\frac{2}{3}$.
[/mm]
>
> Und jetzt P(Z20>5) berechnen?
[mm] $P(Z_{20}>5)=1-P(Z\le 5)\approx1-\Phi\left(\dfrac{5-0}{\sqrt{40/3}}\right)=0.08545$.
[/mm]
Besser wird das Ergebnis, wenn du eine Stetigkeitskorrektur benutzt:
[mm] P(Z_{20}>5)=1-P(Z\le 5)\approx1-\Phi\left(\dfrac{5+0.5-0}{\sqrt{40/3}}\right)=0.066$.
[/mm]
Der exakte Wert ist uebrigens $0.06585$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Was sich hinter [mm] {E}[X_1^2] [/mm] bleibt mir ein Rätsel.
Und was soll das Φ darstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> Was sich hinter [mm]{E}[X_1^2][/mm] bleibt mir ein Rätsel.
[mm]{E}[X_1^2]=(-1)^2\cdot\frac{1}{3}+0^2\cdot\frac{1}{3}+1^2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/mm]
> Und was soll das Φ darstellen?
Die Verteiungsfunktion der Standardnormalverteilung. Ihre Werte werden vermutlich mit "NormalCdf" berechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Dann komme ich für die Standardnormalverteilung auf einen Wert von 0,64617?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 So 24.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> Dann komme ich für die Standardnormalverteilung auf einen
> Wert von 0,64617?
Verstehe ich nicht. Ich habe dir oben die Loesung aufgeschrieben.
Von mir nun: Ende der Durchsage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 So 24.11.2013 | | Autor: | Trichina |
Okay, vielen Dank.
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