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Forum "Uni-Stochastik" - Wahrscheinlichkeit über inter.
Wahrscheinlichkeit über inter. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wahrscheinlichkeit über inter.: Idee,Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Mo 08.12.2014
Autor: LGS

Aufgabe
Sei$ P$ die Gleichverteilung auf $[0,1]$.Das Ereignis [mm] $A_n$ [/mm] sei definiert durch

[mm] $A_:\bigcup _{i=1}^{2^{n-1}} [/mm] [ [mm] \frac{2i-1}{2^n},\frac{2i}{2^n}] [/mm] , n [mm] \in \IN$ [/mm]

$a)$ Bestimmen sie$ [mm] P(A_n)$. [/mm]

$b)$  Zeigen sie ,dass für [mm] $n_1,n_2 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n_1 \neq n_2$ [/mm] die Ereignisse [mm] $A_{n_1}$ [/mm] und [mm] $A_{n_2}$ [/mm] stochastisch unabhängig sind.

Hallo

ich habe keine ahnung wie ich das problem angehen könnte, kann mir jmd. vielleicht nen tipp für den anfang geben? für a)

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit über inter.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Mo 08.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Gerne: ich nehme an, das Ereigniss [mm] $A_n$ [/mm] sei, dass der Wert im "Intervall"

[mm] $\bigcup _{i=1}^{2^{n-1}} [/mm] [ [mm] \frac{2i-1}{2^n},\frac{2i}{2^n}]$ [/mm]

liege. Alles, was Du nun verstehen musst, ist, welche Ausdehnung dieses Intervall für jedes mögliche $n$ hat.

Allerdings ist dieses Intervall recht zerstückelt. Bist Du sicher, dass Du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast?

Hier die Werte für n=4 (berechnet mit Python):

1: >>> i = np.array([1,2,3])
2: >>> (2*i-1)/2**4
3: array([ 0.0625,  0.1875,  0.3125])
4: >>> (2*i)/2**4
5: array([ 0.125,  0.25 ,  0.375])



Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit über inter.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Mo 08.12.2014
Autor: LGS

also die aufgabestellung stimmt hanspeter ! ich werde dennoch heute abend wenn ich aus der uni zurück nach hause gekommen ein photo von der aufgabenstellung hoch laden.

noch mal richtig hingeschrieben
[mm] $A_n [/mm] := [mm] \bigcup _{i=1}^{2^{n-1}} [/mm] [ [mm] \frac{2i-1}{2^n},\frac{2i}{2^n}] [/mm] $

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Bezug
Wahrscheinlichkeit über inter.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Mo 08.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Musst Du nicht unbedingt machen.

Ich habe übrigens in der Aufgabenstellung etwas falsch gelesen, als ich Werte berechnet habe. Hier nochmal die richtigen Werte, diesmal für $n=3$:

1: >>> i = np.array([1,2,3,4])
2: >>> (2*i-1)/2**3
3: array([ 0.125,  0.375,  0.625,  0.875])
4: >>> (2*i)/2**3
5: array([ 0.25,  0.5 ,  0.75,  1.  ])


Jetzt siehst Du, dass die Menge für $n=3$ aus [mm] $2^{3-1}=4$ [/mm] Teilen der Breite [mm] $1/2^3$ [/mm] besteht, also die Gesamtbreite [mm] $4/2^3=1/2$ [/mm] abdeckt.  Damit ist [mm] $P_3=1/2$. [/mm] Und das musst Du jetzt verallgemeinern.

Bezug
                                
Bezug
Wahrscheinlichkeit über inter.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Di 09.12.2014
Autor: LGS

hanspeter, das bringt mich irgendwie nicht weiter hab den ganzen tag gegrübelt... ich meine es sind ja intervalle die die n-mal vereinigt werden und der schnittwert  ist dann die [mm] Probability...:\/ [/mm]

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Wahrscheinlichkeit über inter.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Mi 10.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Ich denke aufzeichnen nützt mehr als grübeln. Du schreibst nämlich vom Schnittwert, aber die Teilmengen, die vereinigt werden, sind alle disjunkt. Schau mal in meiner [a]Zeichnung.

Hilf die?
Gruss, Hanspeter

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Wahrscheinlichkeit über inter.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Mi 10.12.2014
Autor: LGS

Ich hab's!!!! danke hansperter,again!:DD also wenn man sich $n=1$ an guckt, ist es ja das intervall [mm] $[\frac{1}{2},\frac{2}{2}] [/mm] $ , hat ja genau eine "Schrittlänge" von$ [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] für $n =2$ isses ja [mm] $[\frac{1}{4},\frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{4},\frac{2}{2}] [/mm]   $ . Die Intervalle vereinigt sind von der Schrittlänge wieder [mm] $\frac{1}{2}$, [/mm] jedoch die einzelne Dinger ansich bleiben [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm]

Hanspeter, weis nicht wie ich's sauber hin schreiben soll,aber ich kann dir sagen$ [mm] P(A_n)= \frac{1}{2}$ [/mm]

und zusätzlich aufgabenteil $b)$

"Zeigen sie, dass für [mm] $n_1,n_2 \in \IN [/mm] $ mit [mm] $n_1 \neq n_2 [/mm] $die Ereignis  [mm] $A_n_1$ [/mm] und [mm] $A_n_2 [/mm] $ stochastisch unabhängig sind."

stimmt weil $ [mm] P(A_n_1 \cap A_n_2 [/mm] ) = [mm] \frac{1}{4} [/mm] = [mm] P(A_n_1)*P(A_n_2)$ [/mm] ist ,aber ich kanns nicht so richtig begründen. mir ist das ,seitdem ich die Zeichung gemacht hab, irgendwie klar,aber ich kann es nicht begründen...:/

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Wahrscheinlichkeit über inter.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Mi 10.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Gell, wenn man es zeichnet, ist es sofort klar ;)

Das mit dem Begründen ist eher schwierig. Du könntest zum Beispiel argumentieren, dass jede dieser Mengen den Bereich [0,1] in Streifen zerschneidet, wovon jeweils jeder zweite Streifen zur Menge [mm] $A_n$ [/mm] gehört. Das sind für [mm] $n=1,2,3,4\ldots$ [/mm] jeweils [mm] $2,4,8,16,\ldots$ [/mm] Streifen.

Wenn Du diese Teilmengen als Funtionen mit den Werten 0 (gehört nicht dazu) und 1 (gehört dazu) interpretierst, dann ist das Integral über das Produkt von jeweils zwei der Funktionen immer [mm] $\frac14$. [/mm] Das ist so, weil jeweis die "schnellere" Funktion jeden Streifen der "langsameren" Funktion in [mm] $2^{n2-n1}$ [/mm] Streifen zerschneidet und nur die Hälfte davon auch braucht.

Das ist genau dasselbe Prinzip wie bei den Haar Wavelets oder den Kernen der Fourierreihe, wobei Deine [mm] $A_n$-Mengen [/mm] keinen vollständigen Satz von Wavelets oder Fourierkernen darstellen. Bei einem vollständigen Satz wären es für [mm] $n=1,2,3,4\ldots$ [/mm] jeweils [mm] $2,4,6,8,\ldots$ [/mm] Streifen. Wäre die Aufgabe also gewesen:

$ [mm] A_n:\qaud\bigcup _{i=1}^{n} [/mm] [ [mm] \frac{2i-1}{2n},\frac{2i}{2n}] [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] $

dann wäre genau dieselbe Lösung herausgekommen: Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac12$ [/mm] für alle [mm] $A_n$ [/mm] und statistische Unabhängigkeit.

Bezug
                                                                
Bezug
Wahrscheinlichkeit über inter.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:08 Sa 13.12.2014
Autor: LGS

Hansperter.Schmid:)

dank dir für deine Bemühungen und Hilfestellungen und danke danke vielmals
:)
liebe grüße

LGS

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