Wachstum und Zerfall < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | A) Das radioaktive Isotop Barium 140 hat eine Halbwertszeit von 13 Tagen.
Stellen Sie das Zerfallsgesetz für Barium 140 auf.
a) Wie viel Prozent der ursprünglichen Menge an Barium 140 sind nach 5 Tagen noch vorhanden?
b)Wenn zu Beginn der Beobachtungen 5,8 mg Barium 140 vorhanden sind, wie viele mg zerfallen am 12. Tag?
c) Wann sind von 5,8 mg Barium 140 nur mehr 0,3 mg übrig?
d) Wie groß ist die Zerfallsgeschwindigkeit von 5,8 mg Barium am 10. Tag?
B) Das radioaktive Isotop Jod 131 hat am Zerfallsbeginn eine Zerfallsgeschwindigkeit von 0,43 mg/Tag und am 10. Tag eine Zerfallsgeschwindigkeit von 0,18 mg/Tag.
a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz für Jod auf.
b) Berechnen Sie die Halbwertszeit von Jod.
c) Zu Beginn der Beobachtungen hat man 10 mg Jod 131 und 5 mg Barium 140. Nach wie vielen Tagen sind die beiden Mengen in Folge des radioaktiven Zerfalls gleich? |
Hallo,
leider blicke ich bei den Wachstums- bzw. Zerfallsaufgaben nicht durch.
Wie ordne ich den die Angaben aus dem Text richtig zu?
So weit ich weiß, kann man mit der Formel [mm] N(t)=N_0*a^t [/mm] rechnen.
Wofür steht N(t), [mm] N_0 [/mm] bzw. [mm] a^t?
[/mm]
Und wie beginne ich jeweils, bei a), b), c), d), etc.?
Bin für jeden Tipp dankbar… ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Beste Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
N(t) oder M(t) ist die Menge oder Masse des stoffes zum Zeitpunkt t
[mm] N(0)=N_0 [/mm] die menge am Anfang.
Wenn du eine abnahme hast, dann ist o<a<1
wenn also das Zeug 10% pro zeiteinheit abnimmt, dann ist es nach einer zeiteinheit nur noch [mm] 0.9N_0 [/mm] nach 2 einheiten [mm] 0.9^2*N_0 [/mm] nach t zeiteinheiten noch [mm] N(t)=N_0*0.9^t.
[/mm]
bei Ba, Zeiteinheit Tage
weisst du [mm] N(13d)=0.5*N_0 [/mm] *a^13
daraus a die restlichen Aufgaben solltest du dann können
eine andere art zerfallsgl. zu beschreiben ist
[mm] N(t)=N_0*e^{alpha*t} [/mm] bei Zerfall ist [mm] \alpha [/mm] negativ.
du musst wissen ob ihr das so oder mit a macht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich habe a folgendermaßen ausgerechnet:
[mm] 0,5*N_0=N_0*a^1^3 [/mm] /: [mm] N_0
[/mm]
0,5 = a^13 [mm] /\wurzel[13]{}
[/mm]
a= 0,94807
So ergibt sich die Zerfallsgleichung N(t) = [mm] N_0*0,94807^t
[/mm]
Was z.B. muss ich für Aufgabe a) jetzt einsetzen?
Irgendwie versteh ich das noch nicht so ganz :) ...
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
> [mm]0,5*N_0=N_0*a^1^3[/mm] /: [mm]N_0[/mm]
> 0,5 = a^13 [mm]/\wurzel[13]{}[/mm]
> a= 0,94807
Richtig gerechnet. Ganz am Ende jedoch falsch gerundet.
> So ergibt sich die Zerfallsgleichung N(t) = [mm]N_0*0,94807^t[/mm]
Siehe oben. Aber grundsätzlich stimmt es.
> Was z.B. muss ich für Aufgabe a) jetzt einsetzen?
Du nimmst obige Zerfallsfunktion und setzt $t \ = \ 5$ ein.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke.
Und wie schreibe ich das dann an?
[mm] N(5)=N_0*0,9481^5?
[/mm]
Das lässt sich so ja noch nicht rechnen, oder?
Beste Grüße
Edit:
Ah! [mm] N(t)=1*0,9481^5 [/mm]
"1", weil ja 100% ... okay ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Okay, danke.
>
> Und wie schreibe ich das dann an?
>
> [mm]N(5)=N_0*0,9481^5?[/mm]
>
> Das lässt sich so ja noch nicht rechnen, oder?
Ja, da [mm]N_{0}[/mm] unbekannt ist.
Gesucht ist aber der Quotient [mm]\bruch{N\left(5\right)}{N_{0}}[/mm]
>
> Beste Grüße
>
> Edit:
>
> Ah! [mm]N(t)=1*0,9481^5[/mm]
Oder so.
>
> "1", weil ja 100% ... okay
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Bei b) funktioniert dass aber nicht?
Wenn ich rechne: N(t)=5,8*0,9481^12 komme ich auf 3,05. Laut Lösung müssten es aber 0,17 mg sein?
Was mache ich da falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Bei b) funktioniert dass aber nicht?
>
> Wenn ich rechne: N(t)=5,8*0,9481^12 komme ich auf 3,05.
Nun das ist die Menge, die am Ende des 12. Tages noch vorhanden ist.
> Laut Lösung müssten es aber 0,17 mg sein?
>
> Was mache ich da falsch?
Hier mußt Du Differenz der Menge, die am Ende des 11. Tages
vorhanden ist, und der Menge, die am Ende des 12. Tages
vorhanden ist, bilden.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Super, danke, klingt logisch ;) ...
Bei c) weiß ich allerdings auch nicht weiter?
Ich hätte das mit Gleichsetzen probiert,
[mm] N_0*0,9481^t [/mm] = [mm] N_0*0,3
[/mm]
da dass in einer anderen Aufgabe so ähnlich gemacht wurde, funktioniert aber hier nicht.
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Super, danke, klingt logisch ;) ...
>
> Bei c) weiß ich allerdings auch nicht weiter?
> Ich hätte das mit Gleichsetzen probiert,
>
> [mm]N_0*0,9481^t[/mm] = [mm]N_0*0,3[/mm]
>
Die Gleichung, die hier zu lösen ist, lautet: [mm]5,8*0,9481^t = 0,3[/mm]
> da dass in einer anderen Aufgabe so ähnlich gemacht wurde,
> funktioniert aber hier nicht.
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Danke Mathepower.
Ich rechne:
5,8 * [mm] 0,9481^t [/mm] = 0,3
[mm] 5,49898^t [/mm] = 0,3 /lg
t lg (5,49898) = lg (0,3) /lg (5,49898)
[mm] \Rightarrow [/mm] t=-0,70632
Laut Lösung müssten es aber etwa 56 Tage sein.
Wo liegt da der Fehler?
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
> 5,8 * [mm]0,9481^t[/mm] = 0,3
> [mm]5,49898^t[/mm] = 0,3
Dieser "Schritt" bedarf doch hoffentlich keines weiteren Kommentars!
Was tust Du da auf der linken Seite??
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo Loddar,
ah, ja ... okay.
[mm] 5,8*0,9481^t [/mm] = 0,3 /:5,8
[mm] 0,9481^t [/mm] = 0,0517241 / lg
t lg(0,9481) = lg(0,0517241) /:lg(0,0517241)
[mm] \Rightarrow [/mm] 55,57
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
> [mm]5,8*0,9481^t[/mm] = 0,3 /:5,8
> [mm]0,9481^t[/mm] = 0,0517241 / lg
> t lg(0,9481) = lg(0,0517241) /:lg(0,0517241)
> [mm]\Rightarrow[/mm] 55,57
Das Ergebnis ist korrekt. Allerdings musst Du im letzten Schritt durch [mm]\lg(0{,}9481)[/mm] teilen.
Also: [mm]t \ = \ \bruch{\lg(0{,}0517241)}{\lg(0{,}9481)} \ = \ 55{,}57[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Zu d) hätte ich auch noch eine Frage:
Was ist da mit Zerfallsgeschwindigkeit gemeint?
Und wie rechne ich die aus?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Zu d) hätte ich auch noch eine Frage:
>
> Was ist da mit Zerfallsgeschwindigkeit gemeint?
Das ist die erste Ableitung von [mm]N\left(t\right)[/mm] nach t.
> Und wie rechne ich die aus?
>
> Danke
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Uff... und wie bilde ich die, mal ganz dumm gefragt?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Uff... und wie bilde ich die, mal ganz dumm gefragt?
>
Für $a>0$ ist [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Ich sehe hier gerade das konkrete $N(t)$ nicht, aber du kannst es so umschreiben wie oben und dann die entstehende Exponentialfunktion mit der Kettenregel ableiten.
> Danke
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Di 07.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Danke
|
|
|
|
