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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Di 05.05.2009 | | Autor: | Phecda |
hallo ich soll zeigen, dass C(X) [mm] \cap [/mm] B(X)
versehen mit der Supremumsnorm vollständig ist.
C(X) ist die menge aller stetiger Funktionen aus einem metrischen Raum in [mm] \IR [/mm] und B(X) die Menge aller Funktionen von X --> [mm] \IR [/mm] welche beschränkt sind.
Was ich weiß, ist dass der [mm] \IR^n [/mm] vollständig ist.
(Also jede Cauchyfolge konvergiert)
kann mir jemand eine Beweisidee geben?
mfg
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Hallo
Nun, gebe dir eine Cauchyfolge vor.
Sei also [mm] (f_{n})_{n\in\IN}\in $C(X)\cap [/mm] B(X)$.
Jetzt schreibst du dir formal auf was das bedeutet.
Nun ist aber [mm] f_{n}(x) [/mm] eine Cauchyfolge für jedes [mm] x\in\IR.
[/mm]
Es ist aber [mm] \IR [/mm] vollständig bzgl. des Betrages.
formalisiere das, nutze die Beschränktheit und lass dich von der Dreiecksungleichung inspirieren.
Grüße Elvis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Di 05.05.2009 | | Autor: | Phecda |
hallo
das ist relativ allgemein. Also:
sei [mm] f_{n} [/mm] eine Cauchy Folge, dann muss ich zeigen, dass diese auch konvergiert:
Es ex zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N sodass
[mm] \parallel f_{n} [/mm] - [mm] f_{m}\parallel [/mm] = [mm] sup_{x\in X}|f_{n}(x)-f_{m}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n,m [mm] \ge [/mm] N.
Kannst du mir helfen in welcher Hinsicht ich die Dreiecksgleichung anwenden soll und was es mir bringt, dass f für Argumente aus [mm] \IR [/mm] konvergiert? meine Funktionsargumente sind ja Elemente eines allgemeinen metrischen Raumes?
mfg
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Hallo.
Oben hast du geschrieben, die Funktionen seien [mm] \IR [/mm] wertig.
Wenn die Funktionen Werte in einem beliebigen metrischen Raum annehmen, ist die Aussage ohnehin falsch.
Grüße Elvis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:30 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
>
> Oben hast du geschrieben, die Funktionen seien [mm]\IR[/mm] wertig.
> Wenn die Funktionen Werte in einem beliebigen metrischen
> Raum annehmen, ist die Aussage ohnehin falsch.
>
> Grüße Elvis.
Bitte keine Verwirrung erzeugen !
Du selbst hast oben geschrieben:
"Nun ist aber $ [mm] f_{n}(x) [/mm] $ eine Cauchyfolge für jedes $ [mm] x\in\IR. [/mm] $"
Es sollte aber lauten:
."........für jedes $ [mm] x\in [/mm] X. $"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 05.05.2009 | | Autor: | Phecda |
hallo achso ja logisch, hab falsch gedacht. Genau die Funktionen gehen von X-> [mm] \IR
[/mm]
Okay
Also [mm] \parallel f_{n} [/mm] - [mm] f_{m} \parallel \le sup_{x \in X}\{|f_{n}(x)| + |f_{m}(x)|\}
[/mm]
Was ich jetzt zeigen müsste ist doch, dass der linke ausdruck gegen null strebt? Oder bin ich auf dem Holzweg?
Ich hab einfach Probleme klar zu sehen wie meine Argumentation aufzubauen ist....
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Hallo
Der linke Ausdruck geht doch laut Voraussetzung gegen Null. Nicht wahr?
Du solltest die Definitonen genauestens studieren.
Grüße Elvis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Phecda |
hallo
also ich hab jetzt ewig hier herumgegrübelt, weiß einfach nicht wie die aufg geht.
es ist klar, dass die funktionfolge [mm] f_{n} [/mm] eine cauchyfolge in [mm] \IR [/mm] ist. und damit gegen eine Funktion f in [mm] \IR [/mm] konvergiert. ich muss ja nun zeigen, dass diese grenzfunktion f stetig und beschränkt ist. aber wie?
bin schon verzweifelt...!
oder ich müsste zeigen, dass die funktionenfolge gleichmäßig gegen die grenzfunktion f konvergiert, dann wüsste ich , dass f stetig ist. (satz aus ana aus vorlesung)
aber hier weiß ich nicht wie ich die gleichmäßige konvergenz beweis und wie ich dann zeig, dass f beschränkt ist.
(sry elvis, aber deine tips sind bisschen zu knapp)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ex zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 ein N sodass
$ [mm] \parallel f_{n} [/mm] $ - $ [mm] f_{m}\parallel [/mm] $ = $ [mm] sup_{x\in X}|f_{n}(x)-f_{m}(x)| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle n,m $ [mm] \ge [/mm] $ N.
Also
(*) [mm] $|f_{n}(x)-f_{m}(x)| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle n,m $ [mm] \ge [/mm] $ N und für jedes x [mm] \in [/mm] X
Damit konv. [mm] (f_n [/mm] ) punktweise auf X. Sei f die Grenzfunktion. Aus (*) folgt mit$ [mm] m\to \infty:
[/mm]
(**) [mm] $|f_{n}(x)-f(x)| [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ N und für jedes x [mm] \in [/mm] X
Somit konv. [mm] (f_n) [/mm] auf X gleichmäßig gegen f . Dann ist f stetig und aus (**) folgt:
[mm] $\parallel f_{n} [/mm] - f [mm] \parallel \le \varepsilon [/mm] $ für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ N.
Hilft das ?
FRED
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