Verteilungsfunktion vom Maximu < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Ponchosi |
| Aufgabe | In einer Urne befindet sich eine (unbekannte) Anzahl von Kugeln, die mit den Zahlen
1; 2;...; µ durchnummeriert sind. Die Anzahl µ der Kugeln soll geschätzt werden. Dazu
werden zwei Kugeln mit Zurücklegen aus der Urne gezogen. Ihre Nummern werden durch
die Zufallsvariablen X1 und X2 beschrieben. Sei Y = max{X1,X2}.
1. Bestimmen Sie die Verteilung von Y in Abhängigkeit von µ.
2. Zeigen Sie, dass
T(Y ) = [mm] (Y^3 [/mm] - (Y - [mm] 1)^3)/(2*Y [/mm] - 1)
ein erwartungstreuer Schätzer für µ ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu Aufgabe 1 :
Ich weiß, bzw denke, dass die ZV rechteckverteilt sind.
Die Verteilungsfunktion der Rechteckverteilung sieht folgendermaßen aus :
[mm] F(X)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <= a \mbox{} \\ (x-a)/(b-a), & \mbox{für } a < x < b \mbox{} \\1, & \mbox{für } x >=b \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Aber ich weiß leider nicht, wie ich das Maximum behandeln soll !
Zur Aufgabe 2 :
Ich weiß zwar, was gezeigt werden muss : E(Tn) = µ
aber leider weiß ich nicht, wie ich das Maximum behandeln soll und zudem wirkt der Ausdruck ziemlich unhandlich !
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen !
Habt Dank
Habe nun folgendes Herrausgearbeitet für Aufgabe 1.
diskrete Gleichverteilung :
[mm] fx(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<=1 \mbox{} \\ \bruch{|t|}{n}, & \mbox{für } 1<=t<=n \mbox{ }
\\ 1, & \mbox{für } t>=n \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Es gilt für Y = max(X1,X2)
Fy = Fx1 * Fx2 = (wg diskreter Gleichverteilung)
[mm] f(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<=1 \mbox{} \\ (\bruch{y}{\mu})^2, & \mbox{für } 1<=y<=\mu \mbox{ }
\\ 1, & \mbox{für } y>=\mu \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Dies müsste die Lösung zur Aufgabe 1 sein. Aber bei Aufgabe 2 stehe ich immernoch vor einer Wand :-/
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Do 09.12.2010 | | Autor: | Ponchosi |
Habe nun folgendes Herrausgearbeitet für Aufgabe 1.
diskrete Gleichverteilung :
[mm] fx(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<=1 \mbox{} \\ \bruch{|t|}{n}, & \mbox{für } 1<=t<=n \mbox{ }
\\ 1, & \mbox{für } t>=n \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Es gilt für Y = max(X1,X2)
Fy = Fx1 * Fx2 = (wg diskreter Gleichverteilung)
[mm] f(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<=1 \mbox{} \\ (\bruch{y}{\mu})^2, & \mbox{für } 1<=y<=\mu \mbox{ }
\\ 1, & \mbox{für } y>=\mu \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Dies müsste die Lösung zur Aufgabe 1 sein. Aber bei Aufgabe 2 stehe ich immernoch vor einer Wand :-/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Do 09.12.2010 | | Autor: | luis52 |
>
>
>
> Habe nun folgendes Herrausgearbeitet für Aufgabe 1.
>
> diskrete Gleichverteilung :
>
> [mm]fx(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<=1 \mbox{} \\ \bruch{|t|}{n}, & \mbox{für } 1<=t<=n \mbox{ }
\\ 1, & \mbox{für } t>=n \mbox{ }\end{cases}[/mm]
Wenn das die Verteilungsfunktion sein soll, hast du Recht. (Ist [mm] $n=\mu$?).
[/mm]
>
>
> Es gilt für Y = max(X1,X2)
>
> Fy = Fx1 * Fx2 = (wg diskreter Gleichverteilung)
>
> [mm]f(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<=1 \mbox{} \\ (\bruch{y}{\mu})^2, & \mbox{für } 1<=y<=\mu \mbox{ }
\\ 1, & \mbox{für } y>=\mu \mbox{ }\end{cases}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Verteilungsfunktion)
Zu 2) Bestimme doch mal die *Wascheinlichkeitsfunktion* von $T(Y)_$ fuer einfache Faelle wie [mm] $\mu=2,3,4$. [/mm] Vielleicht erkennt man dann ja schon etwas. Die brauchst du ja zur Bestimmung des Erwartungswertes.
vg Luis
|
|
|
|
