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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 12.12.2017 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei die Verteilungsfunktion
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{auf } (\infty,0) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{auf } (0,\bruch{1}{3}) \mbox{ } \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{auf } [\burch{1}{3},\bruch{2}{3}) \mbox{ } \\ 2x-1, & \mbox{auf } [\bruch{2}{3},1) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{auf } [1,\infty) \mbox{ } \\ \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] F^{-1}(u) [/mm] und zeigen Sie damit explizit, dass [mm] X=F^{-1}(U) [/mm] für [mm] U\sim [/mm] U([0,1]) die Verteilungsfunktion F hat. |
Hallo :)
Ich versteh die Aufabe nicht so ganz. Was bedeutet [mm] U\sim [/mm] U([0,1]) ?
Die Definition für [mm] F^{-1}(u) [/mm] lautet
[mm] F^{-1}(u)=inf{x:F(x) \ge u}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1
Wie geht es jetzt weiter. Mir fehlt der Ansatz, ich weiß nicht wie ich hier vorgehen muss.
Danke
lg
Mndy_90
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Di 12.12.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Sei die Verteilungsfunktion
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> [mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{auf } (\infty,0) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{auf } (0,\bruch{1}{3}) \mbox{ } \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{auf } [\burch{1}{3},\bruch{2}{3}) \mbox{ } \\ 2x-1, & \mbox{auf } [\bruch{2}{3},1) \mbox{ } \\ 1, & \mbox{auf } [1,\infty) \mbox{ } \\ \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie [mm]F^{-1}(u)[/mm] und zeigen Sie damit explizit, dass
> [mm]X=F^{-1}(U)[/mm] für [mm]U%5Csim[/mm] U([0,1]) die Verteilungsfunktion F
> hat.
> Hallo :)
>
> Ich versteh die Aufabe nicht so ganz. Was bedeutet [mm]U%5Csim[/mm]
> U([0,1]) ?
Hm. Ich kann jetzt auch nicht behaupten, die Schreibweise in diesem Zusammenhang zu kennen, aber angesichts des Sachverhalts kann es eigentlich nur eines bedeuten: U soll eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable sein.
> Die Definition für [mm]F^{-1}(u)[/mm] lautet
> [mm]F^{-1}(u)=inf{x:F(x) \ge u},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 1
>
> Wie geht es jetzt weiter. Mir fehlt der Ansatz, ich weiß
> nicht wie ich hier vorgehen muss.
Zunächst mal solltest du deine Verteilungsfunktion nochmals überprüfen. So wie sie jetzt dasteht, ist es keine. Vermutlich ist der Wert 1 für das Intervall (0,1/3) falsch. Und mit den offenen und abgeschlossenen Rändern stimmt auch nicht alles.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Di 12.12.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Hm. Ich kann jetzt auch nicht behaupten, die Schreibweise
> in diesem Zusammenhang zu kennen, aber angesichts des
> Sachverhalts kann es eigentlich nur eines bedeuten: U soll
> eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable sein.
da liegst du richtig… [mm] $\mathcal{U}(A)$ [/mm] ist die Standardschreibweise für "(stetige) Gleichverteilung auf der Menge A".
Ist meines Wissens genauso festgelegt, wie dass [mm] $\mathcal{N}(a,b)$ [/mm] die Normalverteilung mit den EW a und Var b ist.
Gruß,
Gono
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Hiho,
wie Diophant ja bereits schrieb: Du solltest deine Definition von $F$ nochmal überprüfen… aktuell ist sie definitiv falsch.
> Die Definition für [mm]F^{-1}(u)[/mm] lautet
> [mm]F^{-1}(u)=inf{x:F(x) \ge u},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 1
Oder in schön:
[mm]F^{-1}(u)=\inf\left{x:F(x) \ge u\right}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Und wenn du dein F korrigiert hast, kannst du $F^{-1}$ ebenso als abschnittsweise definierte Funktion direkt angeben.
Und wenn du das hast, kannst du $X = F^{-1}\left(U\right)$ ebenfalls so Abschnittsweise hinschreiben und dann mal ganz stupide die Verteilungsfunktion $P(X \le x)$ berechnen… und wirst festellen, dass $P(X \le x) = F(x)$ gilt. D.h. $F$ ist wirklich die Verteilungsfunktion von X.
Kleiner Tipp: Du musst eigentlich "nur" begründen, wieso $P(X \le x) = P(F^{-1}\left(U) \le x) = P(U \le F(x))$ gilt.
Gruß,
Gono
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