Verknüpfungstafel erstellen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein zweidimensionaler F2-Vektorraum.
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Basen von V .
b) Beschreiben Sie die Gruppe AutF2 (V ) explizit durch Angabe einer Gruppentafel.
EDIT
c) Ist die Gruppe AutF2(V) isomorph zu einer Gruppe, die in den bisherigen U ̈bungen behandelt wurde? |
Ersteinmal ein frohes neues Jahr und hoffe ihr seid gut reingerutscht. Ich möchte Euch nicht nerven, aber ich brauche dringend Hilfe (Abgabe Morgen). Habt Ihr (zufällig) eine Idee zu folgenden Aufgaben?
Sei V ein zweidimensionaler F2-Vektorraum.
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Basen von V .
b) Beschreiben Sie die Gruppe AutF2 (V ) explizit durch Angabe einer Gruppentafel.
Mein Lösungsansatz:
a) [mm] \frac{(p^{n}-q)(p^{n}-p)}{n!}=\frac{(2^{2}-1)(2^{2}-2}{2!}=3
[/mm]
b) Wenn man drei Basen hat existieren insgesamt 6 Abbildungen, d.h. man hat z.B. folgende Abbildungen.
A1: (v1,v2) --> (v1,v2),
A2: (v1,v2) --> (v1,v3),
A3: (v1,v2) --> (v2,v1),
A4: (v1,v2) --> (v2,v3),
A5: (v1,v2) --> (v3,v1),
A6: (v1,v2) --> (v3,v2)
(Alle verschieden)
[mm] \Rightarrow [/mm]
Durch Ausschreibung der Abbildungen A1-A6 und Multiplikation aller Möglichkeiten [mm] A_{i}*A_{j}=A_{k} [/mm] habe ich folgende Tabelle rausbekommen:
(Hinweis: Horizontal geht die Tabelle von A1-A6 und vertikal A1-A6 (insgesamt eine 6x6 Tabelle))
Zeile 1. A1,A2,A3,A4,A5,A6
Zeile 2. A2,A1,A5,A6,A3,A4
Zeile 3. A3,A4,A1,A2,A6,A5
Zeile 4. A4,A3,A6,A5,A1,A2
Zeile 5. A5,A6,A2,A1,A4,A3
Zeile 6. A6,A5,A4,A3,A2,A1
Ein Kollege von mir meint, dass sie gleich der Gruppe [mm] S_{3} [/mm] ist (Will ich auch garnicht verneinen). Link zur Gruppe [mm] S_{3}: [/mm] https://de.wikipedia.org/wiki/S3_(Gruppe) und somit [mm] Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3. [/mm]
Obiges ist erstmal richtig, muss nur noch herausfinden, wie ich für mein [mm] Aut(\mathbb F_2^2) [/mm] die richtige Drehung und Spiegelung herausfinde, damit [mm] Aut(\mathbb F_2^2), [/mm] Tabelle siehe oben, gleich der Tafel von [mm] S_3 [/mm] ist. Kann mir das jemand von Euch erklären und die Aufgabe mit mir zusammen lösen?
Folgende Erklärung habe ich in einem andern Forum gefunden (Link steht unten):
"Du hast drei Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3. [/mm] Der Vektor [mm] v_i [/mm] führt zur Ecke mit der Nummer i eines Dreiecks. Jetzt schaust du dir an, was die Abbildung [mm] A_2 [/mm] mit den Ecken macht und stellst fest, dass es die Spiegelung [mm] s_1 [/mm] ist (weil Ecke 1 fix bleibt). Genauso für den Rest (genau genommen sind nur noch zwei Abbildungen übrig, den Rest habe ich dir schon abgenommen)"
verstehe das nicht, kann mir das einer auf Deutsch für dummies erklären?
Vielen Dank im Voraus!
LG DerPinguinagent
Hinweis: Was rot markiert ist bitte noch beantworten!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=564122&threadview=0&hilight=&hilightuser=0&page=5]
|
|
| |
|
> Sei V ein zweidimensionaler F2-Vektorraum.
> a) Bestimmen Sie die Anzahl der Basen von V .
> b) Beschreiben Sie die Gruppe AutF2 (V ) explizit durch
> Angabe einer Gruppentafel.
>
>
>
>
> Ersteinmal ein frohes neues Jahr und hoffe ihr seid gut
> reingerutscht. Ich möchte Euch nicht nerven, aber ich
> brauche dringend Hilfe (Abgabe Morgen). Habt Ihr
> (zufällig) eine Idee zu folgenden Aufgaben?
>
> Sei V ein zweidimensionaler F2-Vektorraum.
> a) Bestimmen Sie die Anzahl der Basen von V .
> b) Beschreiben Sie die Gruppe AutF2 (V ) explizit durch
> Angabe einer Gruppentafel.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> a)
> [mm]\frac{(p^{n}-q)(p^{n}-p)}{n!}=\frac{(2^{2}-1)(2^{2}-2}{2!}=3[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn Basen bei Euch ungeordnet sind, dann stimmt das.
Welche Elemete enthält der Vektorraum?
Gib seine Basen an!
>
> b) Wenn man drei Basen hat existieren insgesamt 6
> Abbildungen, d.h. man hat z.B. folgende Abbildungen.
>
>
> A1: (v1,v2) --> (v1,v2),
> A2: (v1,v2) --> (v1,v3),
> A3: (v1,v2) --> (v2,v1),
> A4: (v1,v2) --> (v2,v3),
> A5: (v1,v2) --> (v3,v1),
> A6: (v1,v2) --> (v3,v2)
Du müßtest schon sagen, was Du mit [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] meinst,
aber die Idee ist richtig.
>
>
> (Alle verschieden)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> Durch Ausschreibung der Abbildungen A1-A6 und
> Multiplikation aller Möglichkeiten [mm]A_{i}*A_{j}=A_{k}[/mm] habe
> ich folgende Tabelle rausbekommen:
Auch hier stimmt die Idee, die Tabelle mag ich jetzt nicht mehr prüfen.
LG Angela
>
> (Hinweis: Horizontal geht die Tabelle von A1-A6 und
> vertikal A1-A6 (insgesamt eine 6x6 Tabelle))
>
>
> Zeile 1. A1,A2,A3,A4,A5,A6
> Zeile 2. A2,A1,A5,A6,A3,A4
> Zeile 3. A3,A4,A1,A2,A6,A5
> Zeile 4. A4,A3,A6,A5,A1,A2
> Zeile 5. A5,A6,A2,A1,A4,A3
> Zeile 6. A6,A5,A4,A3,A2,A1
>
>
> Ein Kollege von mir meint, dass sie gleich der Gruppe [mm]S_{3}[/mm]
> ist (Will ich auch garnicht verneinen). Link zur Gruppe
> [mm]S_{3}:[/mm] https://de.wikipedia.org/wiki/S3_(Gruppe) und somit
> [mm]Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3.[/mm]
>
> Obiges ist erstmal richtig, muss nur noch herausfinden, wie
> ich für mein [mm]Aut(\mathbb F_2^2)[/mm] die richtige Drehung und
> Spiegelung herausfinde, damit [mm]Aut(\mathbb F_2^2)[/mm] gleich der
> Tafel von [mm]S_3[/mm] ist. Kann mir das jemand von Euch erklären
> und die Aufgabe mit mir zusammen lösen?
>
> Folgende Erklärung habe ich in einem andern Forum gefunden
> (Link steht unten):
>
> "Du hast drei Vektoren [mm]v_1, v_2, v_3.[/mm] Der Vektor [mm]v_i[/mm] führt
> zur Ecke mit der Nummer i eines Dreiecks. Jetzt schaust du
> dir an, was die Abbildung [mm]A_2[/mm] mit den Ecken macht und
> stellst fest, dass es die Spiegelung [mm]s_1[/mm] ist (weil Ecke 1
> fix bleibt). Genauso für den Rest (genau genommen sind nur
> noch zwei Abbildungen übrig, den Rest habe ich dir schon
> abgenommen)"
>
> verstehe das nicht, kann mir das einer auf Deutsch für
> dummies erklären?
>
> LG DerPinguinagent
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=564122&threadview=0&hilight=&hilightuser=0&page=5]
|
|
|
| |
|
Könntest du mir vielleicht folgendes erklären?
"Du hast drei Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3
[/mm]
Der Vektor [mm] v_i [/mm] führt zur Ecke mit der Nummer i eines Dreiecks.
Jetzt schaust du dir an, was die Abbildung [mm] A_2 [/mm] mit den Ecken macht und stellst fest, dass es die Spiegelung [mm] s_1 [/mm] ist (weil Ecke 1 fix bleibt). Genauso für den Rest (genau genommen sind nur noch zwei Abbildungen übrig, den Rest habe ich dir schon abgenommen)"
Damit soll ich von meiner Verknüpfungstafel, s.o, auf die gesuchte Verknüpfungstafel [mm] S_3 [/mm] kommen.
LG DerPinguinagent
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du hast doch bereits die Gruppentafel.
Mehr ist lt. der von Dir geposteten Aufgabenstellung gar nicht gefordert.
Du möchtest jetzt aber gerne zeigen, daß $ [mm] Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3. [/mm] $
Dazu mußt Du jeden Automorphismus mit einer Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks auf sich identifizieren - oder, was Dir vielleicht leichter fällt:
[mm] S_3 [/mm] kannst Du ja als Permutationsgruppe von drei Elementen [mm] \{1,2,3\} [/mm] auffassen.
Nun schaust Du, welcher Automorphismus [mm] A_i [/mm] welcher Permutation entspricht.
> Könntest du mir vielleicht folgendes erklären?
>
> "Du hast drei Vektoren [mm]v_1, v_2, v_3[/mm]
Jetzt könntest Du für jede Deiner 6 Abbildungen ja erstmal aufschreiben, was mit dem dritten Vektor [mm] v_3 [/mm] geschieht.
(Ist Dir eigentlich klar, daß der Vektorraum, den Du gerade betrachtest, nur 4 Vektoren enthält, und daß [mm] v_3=v_1+v_2?
[/mm]
Mir ist nicht klargeworden, ob Du das weißt, und was Du Dir unter Deinem eigenen [mm] v_3 [/mm] so vorstellst...)
[mm] A_1 [/mm] dürfte klar sein.
[mm] A_2:
[/mm]
[mm] A_2(v_1)=v_1
[/mm]
[mm] A_2(v_2)=v_3
[/mm]
[mm] A_2(v_3)=A(v_1+v_2)=v_1+v_3=v_1+v_1+v_2=v_2
[/mm]
Was passiert? [mm] v_1 [/mm] bleibt fest, [mm] v_2, v_3 [/mm] tauschen.
Das enspricht der Permutation [mm] s_1=\pmat{1&2&3\\1&3&2},
[/mm]
in der "Dreieckssprache": Ecke 1 bleibt, Ecken 2 und 3 tauschen ihre Plätze.
Entsprechend kannst Du den anderen Automorphismen die Abbildungen [mm] s_2, s_3, [/mm] d und [mm] d^2 [/mm] zuordnen.
LG Angela
> Der Vektor [mm]v_i[/mm] führt
> zur Ecke mit der Nummer i eines Dreiecks.
> Jetzt schaust du dir an, was die Abbildung [mm]A_2[/mm] mit den
> Ecken macht und stellst fest, dass es die Spiegelung [mm]s_1[/mm]
> ist (weil Ecke 1 fix bleibt). Genauso für den Rest (genau
> genommen sind nur noch zwei Abbildungen übrig, den Rest
> habe ich dir schon abgenommen)"
>
> Damit soll ich von meiner Verknüpfungstafel, s.o, auf die
> gesuchte Verknüpfungstafel [mm]S_3[/mm] kommen.
>
> LG DerPinguinagent
|
|
|
| |
|
Vielen lieben Dank. Ich habe raus [mm] A_1=e, A_2=s_1, A_3=S_3, A_4=d, A_5=d^{2} [/mm] und [mm] A_6=s_2. [/mm] Damit habe ich nun gezeigt, dass [mm] Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3. [/mm] oder habe ich das falsch verstanden?
Ist ja eine bijektive Abbildung!
|
|
|
| |
|
> Vielen lieben Dank. Ich habe raus [mm]A_1=e, A_2=s_1, A_3=S_3, A_4=d, A_5=d^{2}[/mm]
> und [mm]A_6=s_2.[/mm] Damit habe ich nun gezeigt, dass [mm]Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3.[/mm]
> oder habe ich das falsch verstanden? Ist ja eine bijektive
> Abbildung!
Hallo,
im Grunde ist das, was getan wurde zum Nachweis der Isomorphie, noch nicht so recht überzeugend.
Zunächst einmal müßte man ja sicherstellen, daß die Automorphismen mit der Verkettung eine Gruppe bilden.
Dann wäre zu prüfen, ob die Abbildung [mm] \phi: [/mm] $ [mm] Aut(\mathbb F_2^2) $\to S_3 [/mm] mit
[mm] \phi(A_1)=e
[/mm]
[mm] \phi(A_2)=s_1
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
überhaupt ein Gruppenhomomorphismus ist.
Zusammen mit der offensichtlichen Bijektivität hat man dann die Isomorphie.
Man hätte es - wenn auf die entsprechenden Kenntnisse zurückgegriffen werden kann/darf - auch einfacher haben können:
wenn aus irgendwelchen Gründen klar ist, daß $( [mm] Aut(\mathbb F_2^2);\circ) [/mm] $ eine Gruppe ist, und wenn man weiß, daß es nur zwei Gruppen mit 6 Elementen gibt, nämlich die zyklische und die nichtabelsche [mm] S_3, [/mm] dann hätte man auch schnell ein Argument für die Isomorphie gefunden, ohne daß man den Isomorpismus angeben müßte.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Achso das war einfach eine Vorbereitung, um den Gruppenhomomorphismus zu überprüfen oder? Wie zeige ich denn, dass die Automorphismen mit der Verkettung eine Gruppe bilden?
LG DerPinguinagent
|
|
|
| |
|
> Achso das war einfach eine Vorbereitung, um den
> Gruppenhomomorphismus zu überprüfen oder?
Wofür Du das getan hast, weißt nur Du...
Lt. Aufgabenstellung war ja gar nicht nach irgendeiner Isomorphie gefragt,
und falls doch danach gefragt war,
hängt die Argumentation natürlich von den Kenntnissen ab, auf die man zurückgreifen kann.
Eine "Vorbereitung" war es nicht, sondern eins von mehreren Dingen die getan werden müssen, wenn man durch Angabe eines Isomorphismus die Isomorphie zeigen möchte.
LG Angela
P.S.: Rückfragen als "Frage" stellen.
|
|
|
| |
|
Wie zeige ich, dass [mm] Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3. [/mm] Kann einer mit mir das schritt für schritt durch gehen. Ich bin schon mit der Aufgabe am verzweifeln!
LG DerPinguinagent
PS: Ich bin mir in diesem Thema sehr unsicher und brauche deshalb ganz dringend Hilfe!
|
|
|
| |
|
> Wie zeige ich, dass [mm]Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3.[/mm]
Hab' ich doch schon gesagt. (?)
Zunächst einmal müßtest Du zeigen (bzw. irgendwoher wissen), daß [mm] Aut(\mathbb F_2^2) [/mm] mit der Verkettung eine Gruppe mit 6 Elementen bildet.
Nun habe ich Dir zwei Möglichkeiten aufgezeigt:
1.
Du weißt, daß es (bis auf Isomorphie) nur zwei Gruppen der Ordnung 6 gibt, die abelsche zyklische und die nichtabelsche [mm] S_3.
[/mm]
Wenn Du nun glaubhaft machen kannst, daß die Gruppe [mm] Aut(\mathbb F_2^2) [/mm] nichtabelsch ist, muß es [mm] S_3 [/mm] sein.
2.
Du zeigst von der von Dir definierten Abbildung [mm] \phi, [/mm] daß es ein Gruppenhomomorphismus ist, daß also für alle i,j gilt
[mm] \phi(A_i\circ A_j)=\phi(A_i)\circ\phi(A_j),
[/mm]
sagst dann, daß die Abbildung offensichtlich bijektiv ist, also ein Isomorphismus ist.
Weg 1 - sofern er Dir offensteht - ist der bequeme.
LG Angela
> Kann einer
> mit mir das schritt für schritt durch gehen. Ich bin schon
> mit der Aufgabe am verzweifeln!
>
> LG DerPinguinagent
>
> PS: Ich bin mir in diesem Thema sehr unsicher und brauche
> deshalb ganz dringend Hilfe!
>
|
|
|
| |
|
Ist das den z.B. so richtig?
[mm] f(A_{1}*A_{1})=A_{1}*A_{1}=A_{1}=A_{1}*A_{1}=f(A_{1})*f(A_{1}) [/mm]
und [mm] A_{1}=e
[/mm]
weiterhin:
[mm] f(A_{1}*A_{2})=A_{1}*A_{2}=A_{2}=A_{1}*A_{2}=f(A_{1})*f(A_{2})
[/mm]
[mm] A_{2}=s_1
[/mm]
oder liege ich da falsch? und das mache ich jetzt mit n-Mal oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Di 05.01.2016 | | Autor: | statler |
Hi!
Der Vektorraum hat 4 Elemente, einer davon ist der Nullvektor. Je 2 von den anderen bilden eine Basis, ein Automorphismus bildet also diese 2 auf 2 andere (oder die gleichen) ab. Wenn ich die 3 Vektoren mit 1, 2 und 3 indiziert habe, werden also in Wirklichkeit nur die Ziffern permutiert, da ein Automorphismus bijektiv ist. Damit bist du fertig!
Und sonst meld dich nicht auf den letzten Drücker.
Daß du damit mehrere Foren beschäftigst, ist nicht so toll.
|
|
|
| |
|
Sorry, bin auf der Suche nach dem besten Forum. Denke, dass ich es mit diesem Forum gefunden habe und stelle meine weiteren Frage nur in dieses Forum. Es ist vielleicht etwas nervig zu hören, aber ich habe deine Erklärung nicht verstanden. Kannst du das mir vielleicht noch anders erklären?
|
|
|
| |
|
Was ist den mit meinem Ansatz. deinen habe ich leider nicht verstanden.
|
|
|
| |
|
> Was ist den mit meinem Ansatz.
Moin,
meinst Du das da:
"$ [mm] f(A_{1}\cdot{}A_{1})=A_{1}\cdot{}A_{1}=A_{1}=A_{1}\cdot{}A_{1}=f(A_{1})\cdot{}f(A_{1}) [/mm] $
und $ [mm] A_{1}=e [/mm] $
weiterhin:
$ [mm] f(A_{1}\cdot{}A_{2})=A_{1}\cdot{}A_{2}=A_{2}=A_{1}\cdot{}A_{2}=f(A_{1})\cdot{}f(A_{2}) [/mm] $
$ [mm] A_{2}=s_1 [/mm] $"
Das ist grober Unfug.
Richtig wäre:
[mm] \phi/(A_1\circ A_2)=\phi(A_2)=s_1=e\circ s_1=\phi(A_1)\circ\phi(A_2),
[/mm]
alle anderen müßtest Du auch vorrechnen.
> deinen habe ich leider nicht
> verstanden.
Die Güte einer Antwort hängt oftmals von der Güte der Frage ab.
Frag konkreter und geh auch auf den Beitrag, auf welchen Du Dich beziehst, ein.
Etwa so:
ich habe verstanden, daß... und daß...
Mir ist aber nicht klar, was... bedeutet.
... wurde in meiner Vorlesung gar nicht behandelt.
Um stadlers Antwort zu verstehen, müßte [mm] S_3 [/mm] als Permutationsgruppe behandelt worden sein. Ob das der Fall ist, hast Du bisher nicht verraten...
Schauen wir mal [mm] A_2 [/mm] an und schreiben die Abbildung genau auf:
[mm] A_2:Aut(\IF_2^2)\to Aut(\IF_2^2)
[/mm]
[mm] A_2(v_1)=v_1
[/mm]
[mm] A_2(v_2)=v_3
[/mm]
[mm] A_2(v_3)=v_2
[/mm]
[mm] A_2(0)=0
[/mm]
[mm] v_1 [/mm] geht auf [mm] v_1
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] geht auf [mm] v_3
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] geht auf [mm] v_2,
[/mm]
verkürzt
1 auf 1
2 auf 3
3 auf 2,
als Permutation geschrieben
[mm] \pmat{1&2&3\\1&3&2}.
[/mm]
Du könntest, wenn Du Lust hättest, die Abbildung [mm] A_2 [/mm] ja umtaufen in
[mm] A_{\pmat{1&2&3\\1&3&2}}.
[/mm]
Die anderen könntest Du, wenn's Dir Spaß macht, ebenso geschickt benennen, so daß ihr Name gleich beinhaltet, was die Abbildungen tun - nämlich die drei Vektoren permutieren.
Wenn Dir das klar ist, dann ist
"offensichtlich" [mm] Aut(\IF_2^2) [/mm] isomorph zur Permutationsgruppe von [mm] \{1,2,3\}, [/mm] denn ob ich drei Zahlen permutiere, oder drei numerierte Vektoren, das ist doch wirklich wurscht.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Ich schreibe jetzt einfach [mm] A_2*A_4=A_6 [/mm] und [mm] A_4*A_2=A_3 [/mm] (Steht sie in meiner Gruppentafel). Also haben wir eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 6, das entspricht die ebenfalls der nicht abelsche Gruppe [mm] S_3 [/mm] .
(punkt , aus, ende q.e.d.)
|
|
|
| |
|
> Ich schreibe jetzt einfach [mm]A_2*A_4=A_6[/mm] und [mm]A_4*A_2=A_3[/mm]
> (Steht sie in meiner Gruppentafel). Also haben wir eine
> nichtabelsche Gruppe der Ordnung 6, das entspricht die
> ebenfalls der nicht abelsche Gruppe [mm]S_3[/mm] .
>
> (punkt , aus, ende q.e.d.)
Hallo,
ja,
diese Argumentation ist auf jeden Fall richtig - ob sie "durchgeht", kommt halt darauf an, was in der Vorlesung bereits dran war.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Di 05.01.2016 | | Autor: | statler |
Hallo ihr beiden!
> Wenn Basen bei Euch ungeordnet sind, dann stimmt das.
Das sieht nach einer Hamburger Vorlesung aus, da sind die Basen Familien, also indiziert, also geordnet. Du hast sie ja auch als geordnetes Paar hingeschrieben und nicht als Menge. Dann sind es 6 Basen, deswegen ja auch unten 6 Abbildungen: eine feste Basis auf jede andere.
Gruß aus HH
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo. Vielen Dank für die Hilfe. Könntest du mir vielleicht bei meiner Aufgabe weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 05.01.2016 | | Autor: | statler |
Du bist bei Angela in sehr guten Händen. Mehr geht fast nicht.
|
|
|
| |
|
Weiß aber nicht, ob sie heute noch mal online kommt. Kannst du mal gucken, ob meine Idee aber richtig ist?
|
|
|
|
