Verknüpfung von Abbildungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt affin, wenn a,b [mm] \in \IR [/mm] , a [mm] \not= [/mm] 0, so dass für [mm] x\in \IR [/mm] die Identität f(x) = ax + b gilt. Sei nun G= [mm] \{f:\IR \to \IR | f ist affin\}, [/mm] d.h. G ist die Menge aller affinen Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Zu zeigen: G bildet mit einer Hintereinanderführung [mm] \circ [/mm] von Abbildungen als Verknüpfung eine Gruppe. |
Hallo!
Ich habe überhaupt keinen blassen Schimmer, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Und hoffe daher, dass mir weitergeholfen werden kann.
Schon mal danke.
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du muss die Gruppeneigenschaften mit der Verknüpfungsoperation nachweisen, d.h. f [mm] \circ [/mm] g ist wieder affin.
(1) (f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h = f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)
(2) Es gibt ein neutrales Element in G
(3) Und es gibt ein inverses Element
Rechnen aber erst mal nach, dass f [mm] \circ [/mm] g wieder affin ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Und wie genau muss ich das anstellen?
Ich steh irgendwie auf'm Schlauch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
berechne doch mal (f [mm] \circ [/mm] g)(x)=f(g(x)) mit g(x)=ax+b und [mm] a\ne0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Ich hab das mal gemacht und bei mir kommt [mm] f(g(x))=f(ax+b)=a*(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b. [/mm] Aber irgendwie ist das doch nicht meine Lösung, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ich hab das mal gemacht und bei mir kommt
> [mm] f(g(x))=f(ax+b)=a*(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b
[/mm]
Richtig ist [mm] f(g(x))=f(ax+b)=a'\cdot{a}\cdot{x}+a'\cdot{b}+b' [/mm] mit a' und a [mm] \ne0
[/mm]
Bei der Komposition zweier Funktionen sind im allgemeinen unterschiedliche Werte a, a', b und b' für die Funktione f und g zu wählen.
> Aber irgendwie ist das doch nicht meine Lösung, oder?
Jetzt musst Du überlegen ob das Ergebnis wieder eine affine Funktion ist, also die Form a*x+b mit a [mm] \ne [/mm] 0 hat.
Und dann must Du ja noch die anderen Gruppeneigenschaften nachweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Okay, das habe ich nun verstanden. Aber wie kann ich die anderen Eigenschaften (neutrales und inverses Element) nachwiesen. Wie könnte da der Ansatz lauten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Sa 23.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Nun, es muss wenn Du f auf g anwendest, wieder g herauskommen. Wie müssen dann a und b bei f lauten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Ich steh total auf'm Schlauch. Kannst du mir einen weiteren Hinweis geben?
Wäre super!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 So 24.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze f=ax+b, g=xx+d
wie musst du c,d wählen, damit g(f(x)=f(x) ist?
Du musst auch mal was runprobieren!
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 24.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Ich habe jetzt mal rumprobiert, und bin auf die Vermutung gestoßen, dass im obigen Beispiel c=1 und d=0. Nun bin ich mir aber überhaupt nicht sicher, ob das damit gemeint ist oder ob c und d anders dargestellt werden müssen!
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen, hab grad echt Probleme auf die Lösung zu kommen. Wäre echt toll!
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 So 24.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
c=1 und d=0 sind richtig. Damit ist die neutrale Abbildung die Abbildung die x auf sich selbst abbildet. Sie ist auch affin weil [mm] c=1\ne [/mm] 0 gilt. Jetzt muss Du noch das inverse Element berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 24.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Soweit habe ich alles verstanden, danke.
Wie kann ich nun das inverse Element bestimmen?
Wie sieht dafür der Ansatz aus? Ich kann mir das überhaupt nicht vorstellen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 So 24.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du muss eine affine Abbildung so bestimmen das gilt
f [mm] \circ [/mm] g = id
d.h. f(g(x))=x mit g(x)=ax+b und f(x)=cx+d
Die Aufgabe besteht also darin, c und d so zu bestimmen, dass obige Gleichung gilt.
Es muss übrigens auch gelten g(f(x))=x
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 So 24.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Ich hoffe, ich hab's.
Ich hab folgendes raus für [mm] c=\bruch{1}{a} [/mm] und für d= [mm] -\bruch{b}{a}.
[/mm]
Stimmt das? Ist das somit das inverse Element?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 24.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja das stimmt. Aber wie gesagt, andersherum muss es auch passen. Also g(f(x))=x
Prüf das nochmal nach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 So 24.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Super, danke. Die Werte passen auch für die andere Richtung.
Vielen Dank für die Mühen!
Viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Di 26.11.2013 | | Autor: | Siebert213 |
Wie hast du die Aufgabe gerechnet?
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Mit Stift und Zettel und mit Blick auf die Ansätze, die hier mehr als deutlich im thread stehen ...
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